$a\in \mathbb{N}$, $p$ główny, $a<p$ Udowodnij to $a\mid p+1\iff\exists\, b,c\in\Bbb N:\dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ [duplikować]

Nov 24 2020

$a\in \mathbb{N}$, $p$ główny, $a<p$ Udowodnij to $a\mid p+1\iff \exists\, b,c\in\Bbb N:\dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

moja próba:

$a\cdot b \cdot c=p\cdot(b+c)$ .

nie wiem, jak korzystać z podanego
$a\mid p+1$

Odpowiedzi

4 DonaldSplutterwit Nov 25 2020 at 00:03

Mamy $ a \mid p+1$ więc tam jest $\lambda$ takie że $\lambda a =p+1$. Teraz podziel przez$ \lambda p$i mamy \ begin {eqnarray *} \ frac {a} {p} = \ frac {1} {\ lambda} + \ frac {1} {p \ lambda}. \ end {eqnarray *}

Druga implikacja: mamy $ \dfrac{a}{p}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ lub $abc=p(b+c)$. Pomnóż to przez $a$ & przestaw na $(ab-p)(ac-p)=p^2$.

Daje to trzy możliwości $ab-p=1$ lub $ac-p=1$i wynik następuje. Lub$ab-p=p,ac-p=p$ co daje $ab=ac=2p$ więc $a=1$ lub $a=2$ i znowu wynik następuje.