Aby pokazać, że całka $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(p'(x))^2}{(p(x))^2+(p'(x))^2}dx$ jest zbieżny i jest mniejszy lub równy $n^{3/2}\pi$ [duplikować]
Rozważmy wielomian $p \in \mathbb{R}[x]$ stopnia $n$i bez prawdziwych korzeni. Udowodnij to$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(p'(x))^2}{(p(x))^2+(p'(x))^2}dx$$jest zbieżna i jest mniejsza lub równa $n^{3/2}\pi$
Moje podejście
Teraz pozwól $x_1, x_2, \dots, x_n$ być korzeniami $p$. Cauchy-Schwarz
$$(\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{x-x_k}})^2\leq n\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{|x-x_k|^2}}$$
Nie wiem, co dalej. Jeśli się mylę, proszę podać szczegółową odpowiedź w sekcji odpowiedzi. Pokazałem, o czym pomyślałem lub co zrobiłem.
Czy ktoś może potwierdzić, czy mój sposób myślenia jest prawidłowy?
Dla przypomnienia ... To pytanie długo pozostawało bez odpowiedzi
Dziękuję Ci.
Odpowiedzi
Przede wszystkim możemy zdefiniować: $$p_n(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k\tag{1}$$ $$p_n'(x)=\sum_{k=0}^nka_kx^{k-1}$$
Teraz według twierdzenia wielomianowego: $$\left(\sum_{i=1}^mx_i\right)^n=\sum_{\sum j_i=n}{n\choose{j_1,j_2...j_m}}\prod_{t=1}^mx_t^{j_t}$$ Na tej podstawie powinieneś być w stanie wymyślić wyrażenie: $p_n^2$ i $p_n'^2$.
Teraz zauważ również, że z tego, co wiemy (ponieważ nie ma prawdziwych korzeni): $$p_n(x_0)=\sum_{k=0}^na_kx_0^k\ne0\,\,\,\,x_0\in\mathbb{R}$$ wiemy to: $$p_n(x)^2=O(x^{2n})$$ $$p_n'(x)^2=O(x^{2(n-1)})$$ więc jest jasne, że: $$\frac{p_n'(x)^2}{p_n(x)^2+p_n'(x)^2}=O\left(\frac1{x^2}\right)$$