Aby pokazać, że całka $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(p'(x))^2}{(p(x))^2+(p'(x))^2}dx$ jest zbieżny i jest mniejszy lub równy $n^{3/2}\pi$ [duplikować]

Dec 10 2020

Rozważmy wielomian $p \in \mathbb{R}[x]$ stopnia $n$i bez prawdziwych korzeni. Udowodnij to$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(p'(x))^2}{(p(x))^2+(p'(x))^2}dx$$jest zbieżna i jest mniejsza lub równa $n^{3/2}\pi$

Moje podejście

Teraz pozwól $x_1, x_2, \dots, x_n$ być korzeniami $p$. Cauchy-Schwarz

$$(\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{x-x_k}})^2\leq n\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{|x-x_k|^2}}$$

Nie wiem, co dalej. Jeśli się mylę, proszę podać szczegółową odpowiedź w sekcji odpowiedzi. Pokazałem, o czym pomyślałem lub co zrobiłem.

Czy ktoś może potwierdzić, czy mój sposób myślenia jest prawidłowy?

Dla przypomnienia ... To pytanie długo pozostawało bez odpowiedzi

Dziękuję Ci.

Odpowiedzi

HenryLee Dec 11 2020 at 01:33

Przede wszystkim możemy zdefiniować: $$p_n(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k\tag{1}$$ $$p_n'(x)=\sum_{k=0}^nka_kx^{k-1}$$


Teraz według twierdzenia wielomianowego: $$\left(\sum_{i=1}^mx_i\right)^n=\sum_{\sum j_i=n}{n\choose{j_1,j_2...j_m}}\prod_{t=1}^mx_t^{j_t}$$ Na tej podstawie powinieneś być w stanie wymyślić wyrażenie: $p_n^2$ i $p_n'^2$.


Teraz zauważ również, że z tego, co wiemy (ponieważ nie ma prawdziwych korzeni): $$p_n(x_0)=\sum_{k=0}^na_kx_0^k\ne0\,\,\,\,x_0\in\mathbb{R}$$ wiemy to: $$p_n(x)^2=O(x^{2n})$$ $$p_n'(x)^2=O(x^{2(n-1)})$$ więc jest jasne, że: $$\frac{p_n'(x)^2}{p_n(x)^2+p_n'(x)^2}=O\left(\frac1{x^2}\right)$$