Biorąc pod uwagę równanie krzywizny, jak znaleźć rodzinę równań parametrycznych, które pasują?
Widziałem tutaj kilka pytań i odpowiedzi dotyczących specjalnych przypadków dotyczących znajdowania równań parametrycznych dla danej krzywizny. Na przykład; Znajdź równanie parametryczne dla krzywej o zadanej krzywizny . Jednak obawiam się, że nie rozumiem ogólnego procesu. Czy ktoś mógłby mnie przeprowadzić przez ten proces?
Dbam o parametryczne równania postaci
$$\gamma(s)=(x(s),y(s))$$
Stąd ma podpisaną krzywiznę
$$\kappa=\frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^\frac{3}{2}}$$
Moje pytanie brzmi
Biorąc pod uwagę równanie $\kappa(s)$, jak znaleźć rodzinę rozwiązań dla $\gamma(s)$?
Zakładam, że istnieje wyjątkowa krzywa, która jest satysfakcjonująca $\kappa(s)$, chociaż ostateczne rozwiązanie będzie miało trzy stałe, $x_0$, $y_0$, i $\theta$, który zakoduje dowolne przesunięcie i obrót (lub jakieś odpowiedniki) takiej krzywej, ponieważ intuicyjnie krzywizna nie dba o przesunięcie lub obrót całej krzywej.
Na koniec jestem po prostu zbyt optymistycznym studentem i jako taki zajmowałem się tylko akademickimi równaniami różniczkowymi pierwszego rzędu i mam tylko krzywiznę samouka. Niezależnie od tego, rozumiem konceptualnie każdy. W związku z tym byłbym wdzięczny za odpowiedź mniej więcej na moim poziomie zrozumienia.
Odpowiedzi
Istnieje nie tylko dowolny obrót i przesunięcie, ale także odbicie i parametryzacja krzywej. A więc przede wszystkim weźmy standardową parametryzację długości łuku, w której staje się definicja krzywizny$$\mathbf{t}'(s)=\kappa(s)\mathbf{n}(s)$$ gdzie $\mathbf{t}(s)=(x'(s),y'(s))$ jest wektorem stycznym i $\mathbf{n}(s)=(-y'(s),x'(s))$jest wektorem normalnym. Ta ostatnia jest zdefiniowana tylko do znaku, więc trzeba dowolnie wybrać jeden z nich. Ustala to ręczność krzywej, czyli odbicie.
Stąd równanie różniczkowe do rozwiązania to $$\begin{pmatrix}x''(s)\cr y''(s)\end{pmatrix}=\kappa(s)\begin{pmatrix}-y'(s)\cr x'(s))\end{pmatrix}$$ Jako równanie drugiego rzędu powinno to dać cztery stałe całkowania, ale istnieje ograniczenie długości łuku $(x')^2+(y')^2=1$, więc w rzeczywistości pozostają tylko trzy stałe: dwie dla tłumaczeń i jedna dla rotacji.
Jak już wspomniałem, „zajmowałem się tylko akademickimi równaniami różniczkowymi pierwszego rzędu” , więc ta odpowiedź na moje własne pytanie może być pełna wad, ale jest to (jak sądzę) ogólna forma, której szukałem. Wielkie dzięki dla Chrystomatha za wgląd.
Gdyby $(x')^2+(y')^2=1$, następnie
$$\kappa=x'y''-y'x''$$
Również, $(x')^2+(y')^2=1\implies y''=-\frac{x'x''}{y'}$
$$\implies -\kappa y'=x''\implies\kappa^2(y')^2=(x'')^2\implies\kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2$$
Pozwolić $u=x'$
$$\implies \kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2=\kappa^2(1-u^2)=(u')^2\implies\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm u'$$ $$\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm \frac{du}{dt}\implies\pm\kappa dt=\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}$$ $$\implies\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)+c_1$$ $$\implies c_1\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)\implies u=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\implies x'=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\therefore x=\int\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$
Z podobną logiką wynika
$$y=\int\cos(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$
Dlatego można znaleźć równanie parametryczne (konwencjonalnie zamieniając $\sin$ i $\cos$) być
$$\gamma(s)=\begin{pmatrix} x_0+\int_0^s\cos(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt \cr y_0+\int_0^s\sin(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt\end{pmatrix}$$
Spójrz i oto, jak przepowiedział Chrystomath: trzy stałe (dwie dla tłumaczenia i jedna dla rotacji) oraz refleksje (wskazane przez $\pm$)!