Bolzano-Weierstrass i zera złożonej funkcji analitycznej
Pracuję nad ćwiczeniem podręcznikowym. Podobne pytanie: funkcja analityczna w obszarze zwartym ma skończenie wiele zer , ale nie jest to dla mnie całkiem jasne i prawdopodobnie mam też inne podejście? Chcę w zasadzie udowodnić to samo pytanie, jeśli$f$ jest analityczny wewnątrz i na prostym zamkniętym konturze $C$ (z wyjątkiem ewentualnie tyczek w środku $C$), a jeśli wszystkie zera $f$ są w środku $C$ i skończonego rzędu, to zer musi być skończenie wiele.
Mam nadzieję, że moja próba poniżej może zostać zweryfikowana lub poprawiona.
Moja próba:
Załóżmy inaczej. Następnie zestaw Bolzano-Weierstrass$S$ wszystkich zer $f$ (który jest nieskończony) zawiera wewnątrz punkt akumulacji $C$. Powiedzmy, że tak$z_0$. To$z_0$ jest również zerem $f$ ponieważ jest to granica podciągiem zer w $S$ i $f$jest analityczny (stąd też ciągły). Z założenia jest to, powiedzmy, zero skończonego rzędu$m$.
Twierdzę, że w każdej okolicy $N$ z $z_0$, $f$nie może być identycznie zerem. Aby to zobaczyć, napisz$f(z)=(z-z_0)^mg(z)$ gdzie $g$ jest różna od zera i analityczna w $z_0$. Stąd te właściwości$g$, wokół jest sąsiedztwo $z_0$ (przecięty z $N$) gdzie $g$jest różna od zera. Jednak to sąsiedztwo zawiera, powiedzmy, inne (różne) zero$z'$, z $f$z definicji punktu akumulacji. W związku z tym,$0=f(z')=(z'-z_0)^mg(z')$sugerując, że $g$ może wynosić zero w tym sąsiedztwie, sprzeczność.
Teraz przez twierdzenie w podręczniku, ponieważ $f$ jest analityczny i zerowy na $z_0$, ale nie identycznie zero w żadnym sąsiedztwie $z_0$, musi istnieć usunięte sąsiedztwo $z_0$ gdzie $f$jest identycznie niezerowe . Ale znowu w tym usuniętym sąsiedztwie zawiera zero$f$, mówić $z''$, z definicji punktu akumulacji, sprzeczne $f$jest tam identycznie niezerowy. CO BYŁO DO OKAZANIA.
Więc moje pytania brzmiałyby:
Czy powyższe jest ważne? Jeśli nie, to która część powinna zostać poprawiona?
Czy są jakieś inne podejścia?
Zazwyczaj Q2 jest bardziej interesujący, ale bardzo cenię sobie odpowiedź na Q1. Wielkie dzięki!
EDYCJA: Teraz myślę o tym po kilku komentarzach:
Mój pierwszy akapit powinien wystarczyć.
- Jeśli chodzi o mój drugi akapit do zakończenia, powinienem to zrobić w ten sposób:
Tak jak $z_0$ jest w porządku $m$, możemy pisać $f(z) = (z-z_0)^m g(z)$ gdzie $g$ jest analityczne i niezerowe na $z_0$. Poprzez ciągłość$g$ i niezerowe w $z_0$, jest sąsiedztwo przy ul $z_0$ gdzie $g$jest identycznie niezerowe. Usuwanie$z_0$ tam, $f$jest wtedy różna od zera w tym usuniętym sąsiedztwie. Jednak jest to sprzeczne z faktem, że$z_0$jest punktem kumulacji zer. Gotowe?
LUB
- Mogę też powiedzieć inną metodę: albo $f$ nie jest identycznie zerem w żadnym sąsiedztwie $N$ z $z_0$ lub $f$ jest identycznie zerowy w jakimś sąsiedztwie $N$ z $z_0$. W przypadku pierwszego z nich na zakończenie znajduję się mój pierwotny trzeci akapit. W tym drugim przypadku przez twierdzenie o tożsamości$f$ musi mieć identycznie zero w środku $C$. Z analitycznego punktu widzenia ich pochodne wszystkich rzędów wynoszą zero, co oznacza nieskończony porządek. Gotowe?
Odpowiedzi
Proponuję, co następuje: udowodnijmy, że jeśli funkcja $f$ jest analityczny w regionie $R$ składający się ze wszystkich punktów wewnątrz i na prostym zamkniętym konturze $C$z wyjątkiem ewentualnie tyczek w środku $C$i jeśli wszystkie zera $f$ w $R$ są wewnętrzne do $C$i mają skończoną kolejność, to te zera muszą mieć skończoną liczbę. Myślę, że musimy dodać warunek, że$\;f\;$ nie jest identycznie równa zero w żadnym nietrywialnym otwartym, połączonym podzbiorze $\;R\;$. To jest z książki (znalazłem już artykuł na ten temat z 1981 roku ...), którego nadal nie mogę znaleźć i wydaje się, że jest to coś bardzo zbliżonego do tego, czego naprawdę chcesz. Zwróć uwagę, że powyższe warunki dla funkcji$\;f\;$ w rzeczywistości mówi, że funkcja jest meromorficzna w dziedzinie objętej $\;C\;$ .
Dowód: załóżmy, że istnieje nieskończona liczba zer$\;\{z_1,z_2,...\}\;$ z $\;f\;$ wewnątrz $\;C\;$. Następnie przez Bolzano-Weierstrass istnieje$\;z_0\;$ na $\;R\;$ św $\;\lim\limits_{n\to\infty}z_n=z_0\;$. Poprzez ciągłość$\;f\;$ rozumiemy $\;f(z_0)=0\;$ , także.
Ponieważ zakładamy wszystkie zera $\;f\;$ na $\;R\;$są skończonego rzędu i odizolowane , istnieją$\;m\in\Bbb N\;$ św $\;f(z)=(z-z_0)^mg(z)\;$ , w jakiejś otwartej okolicy $\;U\;$ z $\;z_0\;$ i dla niektórych funkcji meromorficznych $\;g\;$ św $\;g(z)\neq0\;\;\forall\,z\in U\;$. Ponieważ możliwe bieguny$\;f\;$ wewnątrz $\;C\;$ są odizolowane, możemy zająć sąsiedztwo $\;V\;$ z $\;z_0\;$ gdzie nie ma biegunów $\;f\;$ wewnątrz $\;V\;$ i weź powyższą relację $\;f(z)=(z-z_0)^mg(z)\;$ w $\;U':=U\cap V\;$i tym razem $\;g\;$jest niezerowa i analityczna w$\;U'\;$ .
Tak więc jesteśmy prawie skończeni, ponieważ od tego czasu otrzymalibyśmy to przez twierdzenie o tożsamości funkcji analitycznych $\;f\;$ byłoby identycznie zerowe w jakimś połączonym sąsiedztwie $\;z_0\;$ , ponieważ ten punkt jest punktem akumulacji zbioru gdzie $\;f\;$ i funkcja zerowa pokrywają się, co jest sprzeczne z dalszym warunkiem dodanym powyżej.