Brakuje czegoś w prostym wyprowadzeniu reguły podwójnej negacji poprzez regułę wprowadzenia negacji.

Nov 19 2020

Cytuję wpis Shapiro na temat logiki klasycznej (w SEP), gdzie (As) odnosi się do „reguły założeń”:

(As) Jeśli ϕ jest członkiem Γ, to Γ⊢ϕ.

Nasze następne klauzule dotyczą znaku negacji „¬”. Podstawową ideą jest to, że zdanie ψ jest niezgodne z jego zaprzeczeniem ¬ψ. Nie mogą obie być prawdą. Nazywamy parę zdań ψ, ¬ψ sprzecznymi przeciwieństwami. Jeśli można wydedukować taką parę z założenia θ, to można wywnioskować, że θ jest fałszywe lub, innymi słowy, można wywnioskować ¬θ

(¬I) Jeśli Γ1, θ⊢ψ i Γ2, θ⊢¬ψ, to Γ1, Γ2⊢¬θ

Przez (As) mamy to {A, ¬A} ⊢A i {A, ¬A} ⊢¬A. Więc przez ¬ Mam to {A} ⊢¬¬A . Jednak nie mamy jeszcze odwrotności. Intuicyjnie ¬¬θ odpowiada „nie jest tak, że tak nie jest”. Można by pomyśleć, że to ostatnie jest równoważne θ i mamy taką regułę ...

Z łatwością widzę, jak jedno i drugie $A$ i $\neg A$ są wyprowadzane za pomocą reguły (As) ze zbioru $\{A, \neg A\}$ ale nie rozumiem, jak to z tego wynika $\{A\}⊢¬¬A$.

Oznacza to, że nie rozumiem, w jaki sposób $\{A\}$ odgrywa rolę związku zestawu $\Gamma_1, \Gamma_2$w oświadczeniu reguły tuż przed. Nawet nie rozumiem, co odgrywa rolę$\Gamma_1$, ani z $ \Gamma_2$, ani z $ \theta$.

Jakie podstawienia należy wykonać, aby w tym dowodzie wyraźnie rozpoznać konkretyzację reguły wprowadzania negacji?

Odpowiedzi

1 GrahamKemp Nov 19 2020 at 09:46

Chcesz mieć $\{A\}$być sumą dwóch zbiorów. Przynajmniej jeden musi$\{A\}$, inny może być $\{A\}$ lub $\{\}$.

Starasz się czerpać $A$ z $\neg A$ i jeden z powyższych zestawów (nazwij to $\Gamma_1$). Od,$A$ nie może pochodzić z $\neg A$ i zbiór pusty, ale jest trywialnie wyprowadzany z $\{A\}$, późniejszy będzie ten zestaw.$$\{A\}, \neg A\vdash A$$

Ty także starasz się czerpać $\neg A$ z $\neg A$ i inny z powyższych zestawów (nazwij to $\Gamma_2$); i jako albo$\{A\}$ lub $\{\}$ działa ... możemy użyć albo.$$\{\},\neg A\vdash\neg A$$

Więc zaczynamy $$\begin{split}\Gamma_1,\theta&\vdash \varphi\\\Gamma_2,\theta&\vdash \neg \varphi\\\hline \Gamma_1,\Gamma_2&\vdash \neg\theta\end{split}\qquad\begin{split}A,\neg A&\vdash A\\\neg A&\vdash \neg A\\\hline A&\vdash \neg\neg A\end{split}$$