Całkowita powierzchnia nieskończonych okręgów zagnieżdżonych w trójkącie równobocznym.
Biorąc pod uwagę, że promień większego koła wynosi 1, jaka jest całkowita powierzchnia nieskończonych okręgów na powyższym obrazku?
Wiem, jak rozwiązać część problemu, postępując zgodnie z instrukcjami na tej stronie .
Ale problemem są pozostałe kręgi. Próbowałem stworzyć algebrę używając specjalnego przypadku (gdzie jedno z okręgów jest linią) twierdzenia Descarte'a , ale nie znalazłem żadnego wzorca do napisania serii, a następnie znalezienia sumy.
Jak mogę znaleźć obszar pozostałych okręgów, zaznaczonych na czerwono na poniższym obrazku?
Odpowiedzi
Zgodnie z teorią kręgów Forda , dotykające się okręgi satysfakcjonują$$\frac{1}{\sqrt{r_M}}=\frac{1}{\sqrt{r_L}}+\frac{1}{\sqrt{r_R}}$$
W przypadku danego problemu każde koło styka się z dwoma unikalnymi, większymi okręgami. Jeśli skoncentrujemy się tylko na jednej gałęzi zbioru (jednej trzeciej okręgów), środkowy okrąg ma promień$1$ a następny największy okrąg ma promień $1/3$przez podobieństwo. Ich dotykający się okrąg ma promień$1/(1+\sqrt3)^2$ według powyższego wzoru.
Każde koło można przedstawić za pomocą pary liczb całkowitych $(m,n)$ który jest sumą indeksów jego rodziców i ma promień $r_{n,m}$ podane przez $\frac{1}{(m+n\sqrt{3})^2}$, używając powyższego wzoru. Poniższy diagram przedstawia tylko jedną rodzinę okręgów wygenerowaną przez największy$(1,0)$ i następny największy $(0,1)$. Każdy wierzchołek drzewa reprezentuje przestrzeń między okręgami, a każda krawędź reprezentuje styczną stykającą się z dwoma okręgami.
$\hspace{2cm}$
Następna rodzina po lewej jest generowana przez $(0,1)$ i $(3,0)$ ponieważ każdy okrąg, którego środek znajduje się na linii biegnącej od środka trójkąta do lewego wierzchołka, ma promień $1/3^n$ (reprezentowane przez $(3^{n/2},0)$ lub $(0,3^{(n-1)/2})$).
Tabelaryczne $1/\sqrt{r_{n,m}}$ dla pierwszej rodziny kręgów daje:
Rodzina 1: $$\begin{matrix} 1\\ 1+\sqrt3\\ 1+2\sqrt3&2+\sqrt3\\ 1+3\sqrt3&2+3\sqrt3&3+2\sqrt3&3+\sqrt3\\ \cdots\end{matrix} $$
Poniżej znajduje się skrypt Mathematica do generowania tych par:
level[n_] := level[n] = Riffle[level[n - 1], Most@level[n - 1] + Rest@level[n - 1]]
level[1]={{1,0},{0,1}}
sum[n_] := Plus @@ ((1/(#[[1]] + #[[2]] Sqrt[3.])^4) & /@ level[n])
area1 = Pi(sum[25] - 1)
(Środkowy okrąg jest odejmowany.)
Wartość liczbowa powierzchni pierwszej rodziny to $A_1\approx0.4550$.
Pozostałe rodziny są podobne do pierwszej rodziny, ponieważ są ich skalowanymi wersjami. Na przykład druga rodzina jest generowana przez$(3,0)$ i $(0,1)$, stąd jedna trzecia rodziny ma jeden rozmiar (i dziewiąta pod względem powierzchni).
Zatem całkowita powierzchnia jednej gałęzi wynosi $B=A_1(1+\frac{1}{9}+\frac{1}{9^2}+\cdots)=\frac{9}{8}A_1\approx0.5119$.
Wymagana odpowiedź dla całkowitej powierzchni to $3B+\pi$, dodając środkowy okrąg. Liczbowe przybliżenie tego obszaru to$4.68$, który już się skończył $90\%$ całego trójkąta.