Co funkcjonalnie mówi macierz symetryczna na temat transformacji liniowej, którą reprezentuje?

Dec 24 2020

Rozumiem definicję macierzy symetrycznej pod względem powiązań między jej elementami. Ale co to oznacza, jeśli chodzi o transformację liniową, którą reprezentuje? Na przykład macierze blokowe trójdiagonalne mają specjalne relacje między wpisami, ale także, funkcjonalnie, mówią nam, że pewna nietrywialna podprzestrzeń wektorowa jest niezmienna w ramach transformacji liniowej w odniesieniu do określonej bazy. Nawiasem mówiąc, co reprezentują macierze skośno-symetryczne, funkcjonalnie?

Odpowiedzi

BenGrossmann Dec 24 2020 at 23:21

W komentarzach (i w połączonej dyskusji) do pytania stawiam następujące twierdzenie:

$M$ jest symetryczny względem co najmniej jednego wyboru (prawdopodobnie ukośnej) podstawy wtedy i tylko wtedy, gdy $M$ jest diagonalizowalny z rzeczywistymi wartościami własnymi. $M$ jest skośno-symetryczna względem co najmniej jednego wyboru podstawy wtedy i tylko wtedy, gdy $M$ jest bezpośrednią sumą skalowanych $90^\circ $ obroty i zerowe transformacje.

Po pierwsze, przypadek symetryczny. Jeśli$M$ jest symetryczny, to twierdzenie widmowe stwierdza, że $M$jest diagonalizowalny z rzeczywistymi wartościami własnymi. I odwrotnie, jeśli$M$ jest diagonalizowalny z rzeczywistymi wartościami własnymi, to istnieje podstawa, względem której macierz $M$jest przekątna z prawdziwymi przekątnymi wejściami. Ponieważ ta diagonalna macierz jest symetryczna,$M$ jest symetryczny w stosunku do tego wyboru podstawy.

Na wypadek, gdyby $M$jest skośno-symetryczna, istnieją dwa typowe podejścia. Dla łatwego kierunku: jeśli$M$ jest bezpośrednią sumą $90^\circ$ obroty i transformacje zerowe, to istnieje podstawa, względem której macierz $M$ jest macierzą skośno-symetryczną blokowo-diagonalną $$ \pmatrix{0 & \kappa_1 \\-\kappa_1 & 0 \\ && \ddots \\ &&& 0 & \kappa_p\\ &&&-\kappa_p & 0 \\ &&&&&0 \\ &&&&&&\ddots\\ &&&&&&& 0}. $$Istnieją dwa podejścia do rozmowy. Jednym z nich jest zasadniczo zastosowanie twierdzenia spektralnego do macierzy hermitowskich , zauważając, że jeśli$M$ jest skośno-symetryczna, to macierz zespolona $iM$jest pustelnikiem. Alternatywnie możemy systematycznie konstruować bazę, względem której macierz$M$ma powyższą formę blokowo-diagonalną, jak opisano w tym poście i dołączonym w nim dowodzie.