Co się stanie z energiami stanów granicznych w studni nieskończonego kwadratu, jeśli umieścimy mały potencjalny krok w środku?
Zastanawiam się, jak (jakościowo) energie stanów granicznych w studni nieskończonego kwadratu z małym potencjalnym krokiem w środku zmieniają się, jeśli zmienimy ten potencjalny krok. Problem jest właściwie podobny do tego postu , ale szczególnie chciałbym wiedzieć, jak zmieniają się luki między energiami, jeśli zmienimy wysokość lub szerokość potencjalnego kroku.
Próbowałem znaleźć wzór na energie, rozwiązując problem niezależny od czasu, ale nie mogłem znaleźć jasnego rozwiązania (wyglądało to bardziej jak równanie transcendentalne, ale mogłem popełnić kilka błędów).
Odpowiedzi
Analiza energii tego systemu wymaga numerycznego rozwiązania równania transcendentalnego, jeśli pamięć służy. Nie ma w tym nic złego, ale może być trochę trudno wyraźnie zobaczyć wpływ różnych parametrów na wynik.
Inne podejście polega na potraktowaniu tego problemu za pomocą teorii zaburzeń. Ponieważ zakładasz, że wysokość kroku jest mała$^\dagger$, dobrym początkiem byłoby obliczenie poprawek pierwszego rzędu do wartości własnych energii.
Wyraźnie niech twój Hamiltonian będzie $$\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+ \lambda V(x), \qquad V(x)=\cases{1 & $x \ in \ left [\ frac {L} {2} - \ frac {a} {2}, \ frac {L} {2} + \ frac {a} {2} \ right]$\\0 & else}$$
To jest hamiltonian dla nieskończonego potencjału studni z potencjalnym krokiem szerokości $a$ i wysokość $\lambda$w centrum. Pierwsze zamówienie$\lambda$, skorygowane energie są po prostu $$E_n \simeq E_n^{(0)}+ \lambda \left<\psi_n^{(0)}|\hat V |\psi_n^{(0)}\right> = E_n^{(0)} + \lambda \int_{L/2-a/2}^{L/2+a/2}\psi_n^{(0)*}\psi_n^{(0)} dx$$ gdzie $E_n^{(0)}$ i $\psi_n^{(0)}$są odpowiednio nieskorygowanymi energiami i (znormalizowanymi) wektorami własnymi. Wiemy już, jakie one są z podstawowego rozwiązania nieskończonego potencjału, więc oceniając tę całkę, możesz zobaczyć, jak te energie zmienią się, gdy wprowadzisz krok - przynajmniej o ile wysokość kroku jest mała.
$^\dagger$To, co oznacza dla operatora, że jest mały, może być subtelną kwestią. W tym przypadku chcielibyśmy tego$\lambda$być znacznie mniejsze niż oczekiwana wartość niezakłóconego hamiltonianu w dowolnym stanie zainteresowania. W tym przypadku byłoby to osiągnięte, gdyby
$$\lambda \ll \frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$$
Jeśli $\lambda$ przekroczy ten limit, wówczas korekta pierwszego rzędu nie będzie już dobrym przybliżeniem tego, jak zmieniła się energia.