Czemu $8^{\frac{1}{3}}$jest $1$, $\frac{2\pi}{3}$, oraz $\frac{4\pi}{3}$

Aug 15 2020

Pytanie brzmi:

Użyj twierdzenia DeMoivre'a, aby znaleźć$8^{\frac{1}{3}}$. Wyraź swoją odpowiedź w złożonej formie.

Wybierz jeden:

a. 2

b. 2, 2 cis (2$\pi$/3), 2 cis (4$\pi$/3)

c. 2, 2 cis ($\pi$/3)

d. 2 cis ($\pi$/3), 2 cis ($\pi$/3)

mi. Żaden z tych


Myślę, że$8^{\frac{1}{3}}$jest$(8+i0)^{\frac{1}{3}}$

I,$r = 8$

I,$8\cos \theta = 8$oraz$\theta = 0$.

Więc,$8^{\frac{1}{3}}\operatorname{cis} 0^\circ = 2\times (1+0)=2$

Właśnie dostałem tylko$2$. Gdzie i jak inni$\frac{2\pi}{3}$, oraz$\frac{4\pi}{3}$pochodzić z?

Odpowiedzi

5 sai-kartik Aug 15 2020 at 12:57

Moglibyśmy na to spojrzeć tak:
$$8^{\frac13}=2.1^{\frac13}=2\cdot \text{CiS}\left(\frac{2k\pi}{n}\right)$$Teraz dla różnych wartości$k$, mamy różne odpowiedzi: (tutaj$n$jest$3$)$$k=1\implies 8^{\frac13}=2\cdot\text{CiS} \left(\frac{2\pi}{3}\right)$$ $$k=2\implies8^{\frac13}=2\cdot\text{CiS}\left(\frac{4\pi}{3}\right)$$ $$k=3\implies8^{\frac13}=2\cdot\text{CiS}(2\pi)=2$$

Możesz przeczytać dalej$n^{\text{th}}$korzenie jedności na Wikipedii, aby uzyskać lepszy obraz

3 MichaelRozenberg Aug 15 2020 at 14:08

Pozwalać$z^3=8$.

Zatem,$$(z-2)(z^2+2z+4)=0,$$co daje$$\{2,-1+\sqrt3i,-1-\sqrt3i\}$$lub$$\left\{2(\cos0+i\sin0),2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right), 2\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)\right\}$$

2 VenkatAmith Aug 15 2020 at 12:59

Tutaj,$$\begin{align*} 8^{1/3} &= (|8|e^{2\pi kj})^\frac{1}{3}, k = 0,1,2\\ &= |8|^\frac{1}{3} e^{\frac{2}{3}\pi kj}, k = 0,1,2\\ &= 2 e^{\frac{2}{3}\pi kj}, k = 0,1,2\\ \end{align*}$$

więc dla$k=1$,$k=2$dostajemy$\frac{2\pi}{3}$oraz$\frac{4\pi}{3}$

Lub weź:$$8^{1/3}=x$$Wtedy otrzymujemy,

$$(x-2)(x^2+2x+4)=0$$

Wtedy otrzymujemy upragnione korzenie.

1 AlbusDumbledore Aug 15 2020 at 13:03

$8^{\frac{1}{3}}$=$2(1)^{\frac{1}{3}}=2,2\omega,2{\omega}^2$

tutaj$\omega$jest pierwiastkiem sześciennym z jedności