Czy endomorfizmy sprzężonej reprezentacji algebry Liego dojeżdżają do pracy?
Biorąc pod uwagę pole $k$ charakterystyczny $0$ i skończenie wymiarowa prosta algebra Liego $\mathfrak{g}$ nad $k$. Rozważmy reprezentację sprzężoną$(\mathfrak{g}, \mathrm{ad})$ z $\mathfrak{g}$ i pozwól $\mathrm{End}(\mathfrak{g}, \mathrm{ad})$ oznaczają pierścień $\mathfrak{g}$-endomorfizmy modułowe w odniesieniu do tej reprezentacji.
Roszczenie jest: $\mathrm{End}(\mathfrak{g}, \mathrm{ad})$ jest rozszerzeniem pola $k$ i $\dim_k\mathrm{End}(\mathfrak{g}, \mathrm{ad})$ jest równa liczbie prostych składników $g \otimes_k \overline{k}$ gdzie $\overline{k}$ oznacza algebraiczne zamknięcie $k$.
Zaszedłem tak daleko: od $\mathfrak{g}$jest prosta, reprezentacja sprzężona musi być nieredukowalna. A zatem,$\mathrm{End}(\mathfrak{g}, \mathrm{ad})$ jest $k$pole skośne. Ale dlaczego wszystkie elementy z$\mathrm{End}(\mathfrak{g}, \mathrm{ad})$łagodzić? Jeśli$A, B \in \mathrm{End}(\mathfrak{g}, \mathrm{ad})$, można by argumentować $AB - BA$ jest albo $0$lub odwracalny. Nie udało mi się jednak wykluczyć tego drugiego przypadku.
Również: Jak się masz $\mathfrak{g} \otimes_k \overline{k}$ i $\mathfrak{g}$związane z (pół) prostotą? wiem to$\mathfrak{g}$ jest półprostą iff $\mathfrak{g} \otimes_k \overline{k}$jest półproste. Czy istnieje odpowiedni wynik dla prostego przypadku?
Odpowiedzi
$\DeclareMathOperator{\g}{\mathfrak g}$ $\DeclareMathOperator{\ad}{\mathrm{ad}}$ $\DeclareMathOperator{\End}{\mathrm{End}}$
Krótkie wprowadzenie do tej teorii starałem się przedstawić w rozdziale 4.1 mojej rozprawy, która jest generalnie następująca po Jacobson, N .: Notatka o algebrach nie-asocjacyjnych . Duke Math. J. 3 (1937), nr. 3, 544-548. doi: 10.1215 / S0012-7094-37-00343-0 . Oto część związana z Twoim pytaniem:
Pierwsze pytanie :
Dla $k$-Lie algebra $\g$ definiować
$$K := K(\g) := \{ s \in \End_k(\g): s \circ \ad_{\g}(x) = \ad_{\g}(x) \circ s \text{ for all } x \in \g \}.$$
Postrzegamy to jako skojarzeniowe $k$-algebra i zauważ, że jako taka identyfikuje się z tym, co nazywasz $\End(\g, \ad)$.
Jeśli $\g$ jest więc prosta (jak zauważyłeś) $K$ jest polem skośnym według lematu Schura.
W rzeczywistości jest to pole; mianowicie od$\g = [\g, \g]$ wystarczy zobaczyć, że dwa elementy $s, t \in K$ dojeżdżać do pracy komutatorem $[x,y]$ dla $x,y \in \g$. Ale$$ s(t([x,y])) = s([x, ty]) = [sx, ty] = t([sx, y]) = t(s([x,y])) $$ gdzie używaliśmy tego od lewej do prawej $t$ dojeżdża z $\ad_{\g}(x)$, $s$ z $-\ad_{\g}(ty)$, $t$ z $\ad_{\g}(sx)$ i $s$ z $-\ad_{\g}(y)$.
Jeden dzwoni $K$ciężkości z$\g$ i zauważa to $\g$ ma naturalną strukturę, jak algebra Liego $K$. Gdy postrzegasz to jako takie, napisz$^K \g$.
Do drugiego pytania :
Najpierw trochę notacji. Do algebry Lie$\g$ nad $k$, pozwolić $A(\g)$ być (asocjacyjnym, jednostkowym) $k$-subalgebra z $\End_k(\g)$ generowane przez wszystkich $\ad_{\g}(x)$, $x \in \g$. Należy od razu zauważyć, że dla każdego rozszerzenia pola$L|k$, $a \otimes \ad_{\g}(x) \mapsto \ad_{\g_L} (a \otimes x)$ określa naturalny izomorfizm asocjacji $L$-algebry:
$$(*) \qquad L \otimes_k A(\g) \cong A(\g_L)$$
Zwróć też uwagę na to $\g$ jest (po lewej) $A(\g)$-moduł, a to ideał $\g$ jest tym samym, co $A(\g)$-submoduł.
Ponadto włączenie $A(\g) \subseteq \End_k(\g)$ czynniki poprzez mapy naturalne $A(\g) \hookrightarrow \End_K(^K\g) \hookrightarrow \End_k(\g)$, a pierwsza strzałka jest bijektywna według twierdzenia Jacobsona o gęstości. (Twierdzenie nie występuje w cytowanej przeze mnie pracy Jacobsona, ponieważ udowodnił to dopiero osiem lat później!) W konsekwencji równoważne są następujące stwierdzenia:
- $\g$ jest proste i $K = k$
- $A(\g) = \End_k(\g)$.
W tym przypadku dzwonimy $\g$ centralny prosty . Więc np$^K\g$ jest centralne proste, jeśli $\g$jest proste. Wynika z$(*)$ że każde skalarne rozszerzenie centralnej prostej algebry Liego jest ponownie centralnie proste, a fortiori absolutnie proste (A Lie algebra $\g$ nad $k$nazywa się absolutnie prostym, jeśli$\g_{\bar k} := \g \otimes_k \bar k$ jest proste $\bar k$lub równoważnie $\g_K$ jest proste $K$ dla każdego rozszerzenia $K|k$.). Ale mamy znacznie więcej:
Twierdzenie (4.1.2 w mojej tezie): Niech$\g$ być prostą algebrą Lie i $L|k$ rozszerzenie Galois zawierające centroid $K$. Następnie$\g_L \simeq \g_1 \times ... \times \g_r$ gdzie $r = [K:k]$ i $\g_i$ są absolutnie prostymi algebrami Liego $L$. W szczególności,$\g$ jest centralnie prosta wtedy i tylko wtedy, gdy jest absolutnie prosta.
Dowód : pisanie$K = k[X]/(f)$ gdzie $f$ jest minimalnym wielomianem prymitywnego elementu $K|k$, mamy $L \otimes_k K \cong \prod_{i=1}^r L_i$ (tak jak $L$-algebry), gdzie $L_i$ są wszyscy $L$ ale z $L$- działanie skręcone przez pewne elementy $\sigma_i : L \simeq L_i$ grupy Galois $Gal(L|k)$, permutując zera $f \in L[X]$. W szczególności,$r = [K:k]$. Następnie z$(*)$, \begin{align*} A(\g_{L}) &\cong L \otimes_k \End_K(^K\g) \cong \End_{L\otimes_k K}((L \otimes_k K) \otimes_K (^K\g) ) \\ &\cong \End_{\prod_{i=1}^r L_i} (\bigoplus_{i=1}^r (^K\g)_{L_i}) \cong \prod_{i=1}^r \End_{L_i}((^K\g)_{L_i}). \end{align*} Powołanie $e_i$ the $i$-ty idempotent w ostatnim produkcie, plik $A(\g_L)$-moduł $e_i \cdot \g_L$ jest prostym ideałem $\g_i$ w $\g_L$, co w rzeczywistości jest proste $L$-Lie algebra wydedukowana z $(^K\g)_L$ przez rozszerzenie skalarne (tj. skręcenie $L$-action) z $\sigma_i$.