Czy istnieje funkcja niestała? $f: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$takie, że $f(x) = f(x + 1/x)$?

Dec 10 2020

szukam funkcji niestałej$f: \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$takie, że$f(x) = f(x + 1/x)$lub dowód, że taka funkcja nie istnieje.

Wymiana$x$przez$1/x$pokazuje, że musimy mieć$f(x) = f(1/x)$.

Najbardziej interesuje mnie (nie)istnienie gładkiej niestałej$f$.

Odpowiedzi

6 TippingOctopus Dec 10 2020 at 07:06

Powinno być nieskończenie wiele rozwiązań ciągłych, po jednym dla każdej funkcji ciągłej$g:[1,2]\to \mathbb{R}$z$g(1)=g(2)$. Po nałożeniu odpowiednich warunków brzegowych i różniczkowalności na$g$, możemy sprawić, że funkcja będzie płynna.

Pozwolić$x_1=1$oraz$x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}$. Następnie$1\le x_n\le n$i przez rozbieżność szeregu harmonicznego,$x_n\to\infty$Jak$n\to \infty$. Odkąd$h:t\mapsto t+\frac{1}{t}$ściśle wzrasta$[1,\infty)$, każdy$x\in[1,\infty)$należy do dokładnie jednego$[x_{n+1},x_{n+2})$oraz$x=h^n(y)$dla dokładnie jednego$y\in[1,2)$. Następnie definiujemy$f(x)=g(y)$. Korzystanie z relacji$f(x)=f(1/x)$, rozciąga się to na$(0,\infty)$. Jest ciągły, ponieważ jest ciągły na każdym$[x_n,x_{n+1}]$i zgadza się w punktach końcowych.