Czy istnieje taka rodzina zestawów?

Question

Oto pytanie dotyczące teorii mnogości:

Czy istnieje rodzina $S$ zamkniętych dysków w formacie $\mathbb{R^2}$ mające dodatnie promienie, takie że każdy z tych dysków ma co najwyżej jeden wspólny punkt i $\mathbb{R^2}- {\cup D}$ jest policzalna.

Nie mam pojęcia, jak podejść do tego pytania.

Proszę, powiedz mi, jak zacząć to

Answer 1

Jest to dobrze znane twierdzenie (jak sądzę Sierpińskiego), że prosta rzeczywista nie dopuszcza nietrywialnego podziału na policzalnie wiele zbiorów zamkniętych; zobacz moją odpowiedź na to pytanie .

Teraz przyjmijmy jako sprzeczność, że płaszczyzna jest połączeniem (koniecznie policzalnego) zbioru zamkniętych dysków (o dodatnim promieniu) z rozłącznymi wnętrzami oraz policzalnymi wieloma pojedynczymi punktami.

Pozwolić $L$być linią na płaszczyźnie, która nie przechodzi przez żaden z policzalnych punktów, w których stykają się dwa z tych zamkniętych dysków. Przecięcie każdego z podanych dysków z$L$jest albo zamkniętym przedziałem, albo pojedynczym punktem. A zatem$L$ jest sumą policzalnego, rozłącznego zbioru przedziałów zamkniętych i singletonów, zaprzeczając powyższemu twierdzeniu.

Uwaga. Jeśli$S$ to rodzina zamkniętych dysków o dodatnim promieniu z rozłącznymi wnętrzami w $\mathbb R^2$, następnie $\mathbb R^2\setminus\bigcup S$ jest niepoliczalna $G_\delta$ zestaw, więc ma moc $2^{\aleph_0}$.