Czy moduły dg są ponad kofibrantem kategorii dg?
Napraw pierścień przemienny $k;$ wszystkie kategorie dg będą powyżej kategorii dg $k.$W całym pytaniu będę postępował zgodnie z notacją i konwencjami „ Teorii homotopii kategorii dg i pochodnej teorii Mority ” Toëna . Dla kategorii dg$C,$ pozwolić $[C]$ być kategorią, której przedmioty są takie same jak obiekty $C,$ i których morfizmy są zdefiniowane przez $\operatorname{Hom}_{[C]}(X,Y) := H_0(C(X,Y)).$
Pozwolić $F : C\to D$ być funktorem dg między kategoriami dg i pamiętaj, że:
- $F$jest prawie w pełni wierny, jeśli dla wszystkich$X,Y\in C,$ $F_{X,Y} : C(X,Y)\to D(FX,FY)$ jest quasi izomorfizmem,
- $F$jest quasi-zasadniczo surjektywne, jeśli$[F] : [C]\to [D]$ jest zasadniczo surjektywny,
- $F$jest quasi-ekwiwalencją, jeśli jest quasi-w pełni wierna i quasi-istotnie surjektywna.
- $F$jest fibracją, jeśli spełnia następujące dwa warunki:
- Dla wszystkich $X,Y\in C,$ morfizm $F_{X,Y} : C(X,Y)\to D(FX,FY)$ to fibracja w tej kategorii $\mathsf{Ch}(k)$ kompleksów łańcuchowych $k$ (tj. surjection) i
- Dla wszystkich $X\in C,$ biorąc pod uwagę jakikolwiek izomorfizm $v : [F](X)\to Y'\in [D],$ tam istnieje $Y\in C$ i izomorfizm $u : X\to Y$ w $[C]$ takie że $[F](u) = v.$
Przypomnij sobie, że w kategorii istnieje modelowa struktura $\mathsf{dgCat}_k$ kategorii dg powyżej $k$ i dg-funktory między nimi, z fibracjami, jak zdefiniowano powyżej, i ze słabymi równoważnikami określonymi przez quasi-równoważności.
Dla kategorii dg $C,$ zdefiniuj również kategorię dg $\widehat{C}$ być pełną podkategorią kategorii $\mathsf{dgMod}_{C^{\textrm{op}}}$ składający się z obiektów włóknistych i współwłóknistych, na których definiujemy fibracje i równoważności $\mathsf{dgMod}_{C^{\textrm{op}}}$ być funktorami, które są fibracjami na poziomie i równoważnościami w $\mathsf{Ch}(k).$
Moje pytanie brzmi: przypuśćmy, że $C$jest kofibrantem kategorii dg. Wtedy są jedno z nich$\widehat{C}$ lub $\mathsf{dgMod}_{C^{\textrm{op}}}$ kofibrant dg-Categories?
Po pierwsze, łatwo to pokazać $C$ jest kofibrantem wtedy i tylko wtedy, gdy $C^{\textrm{op}}$jest. Korzystając z tej obserwacji, jedyny sposób, o którym pomyślałem, aby uzyskać mapę$F : \mathsf{dgMod}_{C}\to A$ (lub $\widehat{C}$) podniesienie funktora $\mathsf{dgMod}_C\to B$ wzdłuż trywialnej fibracji $A\to B$ polega na użyciu osadzania Yoneda $$ \begin{align*} h^{-}:C^{\textrm{op}}&\to \widehat{C}\\ X&\mapsto\left(\begin{array}{lll} h^X:&C&\to\mathsf{Ch}(k) \\ &Y&\mapsto C(X,Y) \end{array}\right) \end{align*} $$ i napisz dowolny moduł dg $M$ jako wspólna granica reprezentowalnych funktorów $M\cong\varinjlim_i h^{X_i}$ zdefiniować $$F(M) := \varinjlim_i G(X_i),$$ gdzie $G : C^{\textrm{op}}\to A$ jest wyciągiem kompozytu $$C^{\textrm{op}}\to \mathsf{dgMod}_C\to B$$ wzdłuż $A\to B.$
Jest jednak kilka problemów ze strategią: po pierwsze, $A$może nie mieć colimits! Nawet jeśli$A$ miał odpowiednie okrężnice, to tylko definiuje $F$ na poziomie obiektów i wydaje się, że $A\to B$musiałby dojeżdżać z colimits, aby było to uzasadnione. Czy istnieje sposób na uratowanie tej strategii, a jeśli nie, czy jest inny sposób, aby do tego podejść?
Edycja: Aby dodać mój główny cel zadawania tego pytania, zadaję to jako uzupełnienie mojego poprzedniego pytania dotyczącego pokazania, że pochodna kategoria nieskończoności dojeżdża z wypychaniem. Otrzymałem tam miłą odpowiedź dotyczącą sytuacji w$\infty$-sytuacja kategoryczna, ale liczyłem na to, że znajdę na to dowód w przypadku kategorii dg, które nie przeszły przez $\infty$-język kategoryczny. Szkic próbny, który wymyśliłem, wymagał, aby kategoria modułów dg nad kofibrantem dg-kategoria / algebrą była współibrantem w celu obliczenia powstałych pochodnych iloczynów tensorowych.
Odpowiedzi
Moje pytanie brzmi: załóżmy, że C jest kofibrantem kategorii dg. Czy w takim razie jest albo z Ĉ, albo dgMod_C ^ op współwystępującymi kategoriami dg?
Współibrant obiekt w współbieżnie generowanej kategorii modelu (takiej jak dgCat) jest cofnięciem nieskończonej kompozycji zmian kobaz generujących kofibracje. Generowanie kofibracji dgCat to funktory pomiędzy małymi kategoriami (patrz na przykład (4.7) i (4.13) w arXiv: 1201.1575 ), a cobase change, transskończony skład i retrakty zachowują tę właściwość. Ponieważ dgMod_C ^ op i Ĉ oba mają odpowiednią klasę obiektów (a nawet odpowiednią klasę słabych klas równoważności obiektów), nie ma możliwości, aby dgMod_C ^ op lub Ĉ mogły zostać przekształcone w współibrant dg-kategorie.