Czy możemy stwierdzić, że sekwencja $a_n$ takie że $ |a_1| \lt |a_2 -a_1| \lt |a_3 -a_2| \lt |a_4 - a_3| \dots$, i $a_1 \neq 0$ wzrasta?

Aug 15 2020

Mamy nieskończoną sekwencję $$ a_1, a_2 , a_3 \cdots $$ I jest to dane $$ |a_1| \lt |a_2 -a_1| \lt |a_3 -a_2| \lt |a_4 - a_3| \cdots \\ a_1 \neq 0 $$ (czyli różnica między kolejnymi członami rośnie, a pierwsza część nie może wynosić zero)

Czy możemy stwierdzić, że wartości bezwzględne kolejnych składników rosną? To możemy podsumować$$ |a_1| \lt |a_2| \lt |a_3| \lt |a_4| \cdots $$ Zabawa z nierównościami podanymi w pytaniu może dać nam informację, że zmienne warunki rosną (w wartościach bezwzględnych / liczbowych, pozostawiając $a_1$ na bok, to znaczy nie porównuje $a_1$z dowolnymi wyrazami, ale tylko uważając, że nie jest to zero), ale nie z kolejnymi wyrazami. Więc myślę, że nie możemy stwierdzić, że kolejne terminy rosną liczbowo.

Poszukuje się odpowiedzi wyjaśniającej.

Odpowiedzi

2 Chrystomath Aug 15 2020 at 13:47

Rozważ sekwencję $b_n:=c_n(1-\tfrac{1}{n})$ gdzie $c_n\in\{+1,-1\}$i kolejność $a_n:=\sum_{i=1}^nb_i$.

Następnie $|a_{n+1}-a_n|=|b_{n+1}|=1-\tfrac{1}{n+1}$ rośnie, ale z powodu losowego wyboru $c_i$ nie wiadomo, czy $a_n$rośnie lub maleje. Oto przykład wygenerowany przez losowy wybór$c_n$.

4 BrianM.Scott Aug 15 2020 at 13:43

Wystarczy jeden kontrprzykład, a można go utworzyć za pomocą zaledwie trzech wyrazów. Jeśli chcesz pójść trochę dalej i pokazać, że nie ma nawet punktu, po przekroczeniu którego warunki wzrosną do wartości bezwzględnej, musisz popracować trochę ciężej, ale niewiele. Na przykład niech$a_1=1$i ogólnie niech

$$a_{n+1}=\begin{cases} a_n-n,&\text{if }n\text{ is odd}\\ a_n+n,&\text{if }n\text{ is even,} \end{cases}$$

aby otrzymać sekwencję $1,0,2,-1,3,\ldots\;$; w tym przypadku nie jest trudno wykazać to przez indukcję$a_{2n-1}=n$ i $a_{2n}=1-n$ dla wszystkich $n\in\Bbb Z^+$. Widocznie$|a_{n+1}-a_n|=n$ dla $n\in\Bbb Z^+$, ale $|a_{2n}|=n-1<n=|a_{2n-1}|$ dla $n\in\Bbb Z^+$.