Czy można scharakteryzować maksymalne antychainy w kategoriach sieci dystrybucyjnych?
Inspiracją dla tego jest niedawne pytanie Weryfikacja maksymalnego antychaina
Słynna dwoistość między skończonymi pozycjami a skończonymi sieciami dystrybucyjnymi ma kilka fajnych sformułowań. Jeden z nich przypisuje do posety$P$ krata $\mathscr D\!P$jej spadków (lubię to słowo wymyślone, jak sądzę, przez Freyda). Spadkowa wartość$P$ podzbiór $D\subseteq P$ dogadzający $p\leqslant q\in D$ $\Rightarrow$ $p\in D$. Jest to (ograniczona) sieć dystrybucji w odniesieniu do operacji sumowania i przecinania. Odwrotnie do skończonej sieci dystrybucyjnej$L$ przypisuje się poset $\Pi\!L$z jego czasów pierwszych . Element$p\in L$ jest liczbą pierwszą, jeśli $x\land y=p$ sugeruje $x=p$ lub $y=p$, a liczby pierwsze są uporządkowane według podzielności: $p\leqslant q$ iff $p$ dzieli $q$oznaczono $p|q$ to znaczy $\exists x\ q=p\land x$lub równoważnie po prostu $p\land q=q$. Wydaje się to nadmierną komplikacją, ponieważ odwraca odziedziczoną kolejność$L$, ale to tylko kwestia wygody: zawsze możesz przełączyć się na różnego rodzaju równoważne definicje, takie jak odwrócenie kolejności $P$ lub w $L$, zastępując liczby pierwsze liczbami łączonymi lub przechodząc do uzupełnień zbiegających się, które są otworami lub jedno i drugie, itp., itd.
Dwoistość mówi o dwóch rzeczach. Po pierwsze, że każdy$L$ można utożsamić z kratą zstępujących jej liczb pierwszych, czyli pierwiastkiem $x\in L$ jest jednoznacznie określana przez jego główne dzielniki, $D_x:=\{p\in\Pi\!L\mid\exists y\ x=p\land y\}$; innymi słowy, każdy$x$jest spotkaniem jego głównych dzielników. Co więcej, każdy trend spadkowy$D$ z $\Pi\!L$ jest $D_x$ za wyjątkowy $x\in L$, a mianowicie dla $x=\bigwedge D$.
Po drugie, dwoistość mówi, że każdy poset $P$ można utożsamić z posetem liczb pierwszych $\mathscr D\!P$. Mianowicie,$p\in P$ utożsamia się z $\not\uparrow\!\!p:=\{q\in P\mid p\not\leqslant q\}$ i każda liczba pierwsza $\mathscr D\!P$ jest $\not\uparrow p$ za wyjątkowy $p\in P$. co więcej$p\leqslant q$ iff $\not\uparrow\!\!p\subseteq\not\uparrow\!\!q$.
Teraz skończona pozycja $P$, jej tendencje spadkowe są w korespondencji jeden do jednego z jej antychinami: do spowolnienia spadkowego $D$ przypisuje się antychain $\max\!D$ jego maksymalnych elementów i do antychaina $\alpha\subseteq P$ opuchlizna $\downarrow\!\alpha$ elementów poniżej $\alpha$, $\{p\mid\exists\ q\in\alpha\ p\leqslant q\}$.
Moje pytanie brzmi: czy można abstrakcyjnie, algebraicznie, bez odwoływania się do tej dwoistości, scharakteryzować te elementy skończonej sieci dystrybucyjnej $L$które odpowiadają maksymalnym antychainom jego podwójnej pozycji?
Dokładniej (mam nadzieję, że nie popełniłem błędów przy tłumaczeniu): czy istnieje czysto algebraiczna charakterystyka, bez wspominania o liczbach pierwszych, $a\in L$ z właściwością za każdą liczbę pierwszą $p\notin D_a$ jest liczba pierwsza $p'\in\max D_a$ z $p'|p$?
W przypadku tego inspirującego pytania musimy rozważyć jedynie swobodne skończone sieci dystrybucyjne, co oznacza rozważenie tylko posetów$P$które są pełnymi potęgami jakiegoś skończonego zbioru, uporządkowanego przez włączenie. Wydaje się, że niewiele wiadomo o mocy zbioru wszystkich maksymalnych antychainów w powerset. Według OEIS ich sekwencja zaczyna się następująco$1,2,3,7,29,376,31764,...$
Mapa pytań o klasę wszystkich skończonych pozycji pochodzących z maksymalnych rozmiarów antychainów wydaje się być bardzo blisko spokrewniona, ale ta jedna dotyczy antychainów o największych możliwych rozmiarach, podczas gdy moja dotyczy wszystkich maksymalnych antychain, tj. Antychainów nie zawartych w żadnym innym antychainie. Oczywiście takie antychainy mogą mieć ogólnie różne rozmiary, w szczególności w powersetach. Na przykład oba elementy antychain$\{\{1\},\{2\}\}$ i jeden element antychain $\{\{1,2\}\}$ to maksymalne antychainy w zestawie potęg $\{1,2\}$.
Odpowiedzi
To jest (wiki społeczności) opis możliwej odpowiedzi, a nie sama odpowiedź. Zachęcamy wszystkich, aby spróbowali przekształcić to w prawdziwą odpowiedź. Lub (oczywiście) porzuć to i napisz naprawdę prawdziwą odpowiedź.
Richard Stanley wyjaśnia w komentarzu, że maksymalne antychainy $A$ z $P$ są w korespondencji jeden do jednego z maksymalnymi przedziałami logicznymi wynoszącymi $\mathscr D\!P$.
Ogólnie biorąc $D'\subseteq D$ z $D,D'\in\mathscr D\!P$łatwo zauważyć, że interwał $[D',D]$ jest izomorficzna z siatką $\mathscr D(D\setminus D')$, gdzie $D\setminus D'$ jest podzbiorem $P$z indukowanym porządkiem częściowym. Więc$[D',D]$ jest logiczna wtedy i tylko wtedy, gdy $D\setminus D'$ jest antychainem.
I odwrotnie, każdy antychain $A\subseteq P$ powoduje powstanie takiego przedziału logicznego, z $D=\downarrow\!A$ i $D'=D\setminus A$. I (oczywiście?) Maksymalne antychainy odpowiadają maksymalnym przedziałom logicznym.
Teraz jest konstrukcja, którą po raz pierwszy widziałem wykonaną przez Harolda Simmonsa. Dla elementu$a$ w każdej pełnej algebrze Heytinga, niech $$ \tau a=\bigwedge\{b\geqslant a\mid b\to a=a\}. $$ Następnie $[a,\tau a]$ jest największym przedziałem logicznym z dnem $a$.
Najwyraźniej w pełnej algebrze współ-Heytinga istnieje podwójnie zdefiniowany operator $\delta$ takie że $[\delta b,b]$ jest największym przedziałem logicznym z górą $b$.
Przykład. W kracie zamkniętych zbiorów przestrzeni topologicznej,$\delta$jest pochodną Cantora-Bendixsona. To znaczy dla zamkniętego zestawu$C$, $\delta C$ jest zbiorem jego punktów granicznych.
Więc jeśli jesteśmy w pełnej algebrze bi-Heytinga, dostępne są oba operatory i przedział $[a,b]$ jest maksymalnym logicznym wtedy i tylko wtedy, gdy $a=\delta b$ i $b=\tau a$.
To pozornie implikuje, że oba elementy $a$ dogadzający $\delta\tau a=a$ i elementy $b$ dogadzający $\tau\delta b=b$powinien jakoś odpowiadać maksymalnym antychainom. W szczególności w przypadku, gdy nasza algebra jest$\mathscr D\!P$ dla niektórych poset $P$, następnie $\tau\delta D=D$ dla $D\in\mathscr D\!P$ powinno to znaczyć $\max D$ jest maksymalnym antychainem, podczas gdy $\delta\tau D=D$ powinno to znaczyć $\min(P\setminus D)$ jest maksymalnym antychainem.