Czy sekwencja (liczba grup o parzystej kolejności $\le n$) / (Liczba grup zamówienia $\leq n$) zbiegają się? Jeśli nie, jakie są jego punkty skupienia?
Niedawno prowadziłem kurs licencjacki z teorii grup (która nie jest całkowicie moją specjalizacją, więc poniższe pytania mogą mieć dobrze znaną odpowiedź, z której po prostu nie wiem). Wyjaśniając pojęcie rozwiązalności, nieco odbiegałem od tematu i opowiedziałem klasie o twierdzeniu o nieparzystym porządku, znanym również jako twierdzenie Feita-Thompsona, które stwierdza, że każda skończona grupa nieparzystego rzędu jest rozwiązalna. Zrobiłem uwagę: w grupach skończonych rozwiązalność jest raczej regułą niż wyjątkiem, ponieważ rozwiązalność jest co najmniej tak samo prawdopodobna, jak osobliwość. Jeden z moich uczniów zapytał: „Jeśli więc wezmę dowolną skończoną grupę, to jakie jest prawdopodobieństwo, że ta grupa ma dziwną kolejność?” Na co nie znałam odpowiedzi.
Dlatego chciałbym zadać następującą serię powiązanych pytań:
(1.) Jeśli \ begin {equation *} x_ {n} = \ frac {\ # \ text {Izomorficzne klasy grup parzystych$\leq n$}} {\ # \ text {Izomorficzne klasy grup porządku $\leq n$}} \ end {equation *} wykonuje serię$x_{n}$skupiać? Jeśli nie, jakie są jego punkty skupienia?
(2.) Jeśli $m\in\mathbb{N}$and \ begin {equation *} y_ {n} = \ frac {\ # \ text {Izomorficzne klasy grup porządku$\leq n$podzielna przez $m$}} {\ # \ text {Izomorficzne klasy grup porządku $\leq n$}} \ end {equation *} wykonuje serię$y_{n}$skupiać? Jeśli nie, jakie są jego punkty skupienia?
(3.) Jeśli \ begin {equation *} z_ {n} = \ frac {\ # \ text {Izomorficzne klasy rozwiązywalnych grup porządku$\leq n$}} {\ # \ text {Izomorficzne klasy grup porządku $\leq n$}} \ end {equation *} wykonuje serię$z_{n}$skupiać? Jeśli nie, jakie są jego punkty skupienia?
Moja prosta intuicja jest taka, że we wszystkich trzech przypadkach odpowiedź powinna brzmieć „tak, to się zbiega” i powinna zbiegać się do $\frac{1}{m}$ w przypadku (2.) i do wartości $\geq\frac{1}{2}$ w przypadku 3.
Z góry proszę o wybaczenie, jeśli odpowiedzi są dobrze znane, nie jestem ekspertem w zakresie teorii grup.
Odpowiedzi
Jak wspomniano w komentarzach, teoretycznie prawie wszystkie skończone grupy są $2$-step nilpotent $2$-grupy, więc hipotetycznie odpowiedzi na 1) i 3) są takie, że granice istnieją i obie są równe $1$; to znaczy, prawie wszystkie skończone grupy mają równy porządek i prawie wszystkie skończone grupy są rozwiązalne (nawet zerowe). Jako liczbowy dowód na to, prawie wszystkie pierwsze$50$ miliard grup ma porządek $1024$. Domniemana odpowiedź na 2) jest taka, że jeśli$m$ jest potęgą $2$ wtedy granica jest równa $1$ a inaczej, jeśli $m$ ma nietrywialny nieparzysty dzielnik, wtedy granica jest równa $0$.
Warto tutaj wiedzieć jako kontekst, że wynik ze względu na Higmana i Simsa stwierdza, że asymptotycznie liczba $p$-grupy zamówienia $p^n$ jest $p^{ \frac{2}{27} n^3 + O \left( n^{8/3} \right)}$. Dolna granica pochodzi z liczenia$2$-step nilpotent $p$-grupy; możesz zobaczyć analogiczny argument dla nilpotentnych algebr Liego tutaj . Myślenie o tym liczy się jako funkcja kolejności$p^n$ nie jest trudno sprawdzić, czy jest zmaksymalizowany, jeśli $p^n$ jest ograniczony przez jakieś dość duże $N$, robiąc $p$ tak mały, jak to możliwe (równoważnie, przez wykonanie $n$ tak duży, jak to tylko możliwe), co wyróżnia $p = 2$. Powinno istnieć możliwość zapisania podobnego argumentu heurystycznego pokazującego, że liczba grup zerowych (które są produktami ich podgrup Sylow) jest zdominowana przez grupy rzędu$2^n$ również.