Czy ta odmiana opisuje lewe monoidy?

Dec 21 2020

W tym pytaniu zdefiniowałem następującą odmianę.

Pozwolić $(S, \cdot, e)$ bądź taki, że $(S, \cdot)$ jest półgrupą, $e$ jest operacją binarną i niech tożsamości $e(x, y)x \approx x$, $e(x, y)\approx e(y, x)$utrzymać. Nazwijmy strukturę, która je spełnia, podwójnym lewym monoidem lub dlm.

Można to zobaczyć, jeśli $(S, \cdot)$ to lewy monoid z lewą tożsamością $f$, a następnie ustawienie $e(x, y)\equiv f$ otrzymujemy dlm.

Gdyby $(S, \cdot, e)$jako półgrupa nie jest lewym monoidem, to nie może być prawym monoidem. Oczywiście, jeżeli$f$ były więc właściwą tożsamością $e(x, f)f = f = e(x, f)$ dla wszystkich $x$, a więc $fx = x$ dla wszystkich $x$, więc byłby to monoid.

Czy jakikolwiek dlm jest koniecznie lewym monoidem po transformacji $(S, \cdot, e)\mapsto (S, \cdot)$ który zapomina o operacji $e$?

Odpowiedzi

1 J.-E.Pin Dec 22 2020 at 19:02

Odpowiedź brzmi: nie, jak pokazuje półgrupa $(\Bbb{Z}, \min)$ z $e(x,y) = \max(x,y)$.