Czy to możliwe $2^{2A}+2^{2B}$ to jest liczba kwadratowa?
Niech A i B będą dwiema dodatnimi liczbami całkowitymi większymi niż $0$. Czy to możliwe$2^{2A}+2^{2B}$ to jest liczba kwadratowa?
Mam problem z tym ćwiczeniem, ponieważ mam wrażenie, że odpowiedź brzmi „nie”, ale nie mogę rozwinąć tego dowodu. Jak dotąd myślałem, że założyłem, że istnieje jakaś liczba całkowita$C>0$ takie że $2^{2A}+2^{2B}=C^2$. Następnie$$(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$$Próbowałem sprawdzić, czy poprzednie wyrażenie może zawierać sprzeczności, ale utknąłem. Wszystko, co mogłem znaleźć, to to$C$musi być liczbą parzystą, ale to mnie do niczego nie prowadzi. Byłbym wdzięczny za każdą pomoc.
Z góry dziękuję!
Odpowiedzi
Bez utraty ogólności, niech $A>B$. Następnie$2^{2A}+2^{2B}=2^{2B}(2^{2A-2B}+1)$ oznacza kwadrat $2^{2A-2B}+1$ jest kwadratem jak $2^{2B}$jest kwadratem. Ale od tego czasu jest to niemożliwe$2^{2A-2B}$ jest kwadratem.
Odpowiedź Shubhrajita Bhattacharyi daje na to prosty, bezpośredni dowód $2^{2A}+2^{2B}$nie może być kwadratem. Ale dla zabawy zakończmy podejście OP (które początkowo uważałem za ślepą uliczkę).
Jeśli $(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$, następnie $(2^A+2^B+C)(2^A+2^B-C)=2^{A+B+1}$, co oznacza że $2^A+2^B+C$ i $2^A+2^B-C$ są oba uprawnienia $2$i oczywiście różne uprawnienia$2$, mówić $2^a$ i $2^b$ z $a\gt b$ i $a+b=A+B+1$. Ale to implikuje
$$2(2^A+2^B)=2^a+2^b$$
Jeśli teraz przyjmiemy, bez utraty ogólności, to $A\ge B$, mamy
$$2^{B+1}(2^{A-B}+1)=2^b(2^{a-b}+1)$$
Teraz $a\gt b$ sugeruje $2^{a-b}+1$ jest liczbą nieparzystą większą niż $1$, z czego wynika, że musimy mieć $A\gt B$ (w przeciwnym razie lewa strona to potęga $2$, nie wielokrotność liczby nieparzystej większej niż $1$). To z kolei implikuje$b=B+1$ i $a-b=A-B$, z którego otrzymujemy
$$a+b=(a-b)+2b=(A-B)+2(B+1)=A+B+2$$
w przeciwieństwie do $a+b=A+B+1$.
Uwaga: byłem trochę zaskoczony naturą tej sprzeczności i musiałem dokładnie sprawdzić swoją pracę, aby upewnić się, że nie popełniłem głupiego błędu arytmetycznego.
Po prostu to zrób.
Załóżmy to bez utraty ogólności $A \le B$ więc
$2^{2A} + 2^{2B}=$
$2^{2A} (1 + 2^{2B-2A})=$
$(2^A)^2 [1 + 2^{2B-2A}]=$
$(2^A)^2 [(2^{B-A})^2 + 1]$.
Więc jeśli to jest idealny kwadrat, to musimy mieć $(2^{B-A})^2 + 1$ będąc idealnym kwadratem.
Ale $(2^{B-A})^2$jest idealnym kwadratem, więc mamy dwa kolejne idealne kwadraty. Powinno być łatwo przekonać się, że jedyny czas, jaki kiedykolwiek się zdarza, to$0^2$ i $1^2$. (Dowód jako uzupełnienie).
Więc jedyny sposób, w jaki może się to zdarzyć, to jeśli $(2^{B-A})^2 = 0$ i $(2^{B-A})^2 + 1=1$.
Ale $2^{B-A} = 0$ nie jest możliwe.
====
Dodatek: Wtedy są tylko dwa kolejne kwadraty $0$ i $1$.
Dowód: przypuśćmy $m^2 = n^2 + 1$. gdzie$m,n$ są nieujemnymi liczbami całkowitymi. $n^2 < m^2 = n^2 + 1 \le n^2 + 2n + 1= (n+1)^2$ więc $n < m \le m+1$. Ale jedyne liczby całkowite między$n$ (ekskluzywny) i $n+1$ (włącznie) jest $n+1$ więc $m = n+1$. A więc$n^2 + 1 = m^2 = (n+1) = n^2 + 2n + 1$ więc $2n = 0$ i $n = 0$ i $m =1$.
Zakładać, że $2^{2A}+2^{2B}$to idealny kwadrat. Przyjmijmy, że bez utraty ogólności$A \geqslant B$. Wtedy pozwolić$A-B=x$, gdzie $x$jest nieujemną liczbą całkowitą. Wynika z tego, że mamy:$$2^{2A}+2^{2B}=(2^B)^2 \cdot (2^{2x}+1)$$Teraz, jeśli LHS jest idealnym kwadratem, to RHS również musi być idealnym kwadratem. Wynika, że$2^{2x}+1$to idealny kwadrat. Niech tak będzie$n^2$. Mamy wtedy:$$2^{2x}=n^2-1=(n-1)(n+1)$$ Teraz potrzebujemy $n-1$ i $n+1$ aby oba były doskonałymi mocami $2$. Może się to zdarzyć tylko w przypadku$n=3$. Jednak nawet wtedy mielibyśmy tylko$2^{2x}=8$ co jest niemożliwe jak $x$jest liczbą całkowitą. Dlatego nie ma żadnych rozwiązań.
Musielibyśmy $k^2=4^{A}+4^{B}\equiv 1+1= 2\pmod 3$, niemożliwe jak $k^2 \equiv 0,1 \pmod 3$.