Czy zasada łańcucha obowiązuje dla ogólnych instrumentów pochodnych?
Do przestrzeni wektorowej $\mathbb{R}^n$ mamy pochodne cząstkowe, które są zgodne z regułą łańcucha, np .:
pozwolić $F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, $f:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$, załóż standardową podstawę dla $\mathbb{R}^n$ jest $x^i$ i standardowa podstawa dla $\mathbb{R}^m$ jest $y^j$Tak więc do składu mamy:
$$\left.\frac{\partial}{\partial x^{i}}\right|_{p}(f \circ F)=\frac{\partial f}{\partial y^{j}}(F(p)) \frac{\partial F^{j}}{\partial x^{i}}(p)$$
co jest standardową regułą łańcucha.
Rozważmy teraz pochodną przypadku ogólnego jako liniową mapę między algebrą $v:A\to B$ z $v(fg) = fv(g)+gv(f)$.
W tym przypadku stosuje się łańcuch reguł kompozycji $v(f\circ g)$Nadal trzymać? Wydaje się, że nie?
(znamy różnicę $dF_p:T_pM\to T_p N$ zasada łańcucha nadal obowiązuje)
Odpowiedzi
W przypadku rozmaitości gładkich to, co nazywamy regułą łańcuchową, jest przejawem funktorialności funktora, przyjmującego rozmaitość z zaznaczonym punktem $(M,p)$ do jego przestrzeni stycznej $T_pM$ i sporządzenie gładkiej mapy takich obiektów $f:(M,p)\to (N,q)$ do powiązanej różnicy $df_p:T_pM\to T_qN$. Functoriality mówi, że biorąc pod uwagę kompozycję$$ (M,p)\xrightarrow{f} (N,q)\xrightarrow{g}(P,r)$$ istnieje związek $d(g\circ f)_p=dg_q\circ df_p$. Mówiąc mniej zawiłym językiem, to po prostu mówi, że zróżnicowanie kompozycji jest kompozycją różnic. Mówiąc konkretnie, biorąc pod uwagę$$ \Bbb{R}^n\xrightarrow{F} \Bbb{R}^m\xrightarrow{f} \Bbb{R}$$ jak wyżej, wiemy, że różnice są odpowiednio $$ \bigg[\frac{\partial F^i}{\partial x^j}\bigg]_p$$ i $$ \bigg[\frac{\partial f}{\partial y^i}\bigg]_{F(p)}$$ gdzie są współrzędne na pierwszej przestrzeni $x^1,\ldots, x^n$ a współrzędne na drugiej przestrzeni to $y^1,\ldots, y^m$ a pierwsza macierz to $m\times n$, a drugi to $1\times m$. Złożeniem różniczki jest pomnożenie tych macierzy, tak jak piszesz$$ \bigg[ \sum_{i=1}^n\frac{\partial F^i}{\partial x^j}(p)\frac{\partial f}{\partial y^i}(F(p))\bigg]$$ gdzie to jest $1\times n$ matryca.
Pytanie, które zadajesz, jest inne. Powiedzmy to$A$ i $B$ są $k-$algebry dla jakiejś dziedziny $k$. Potem morfizm$v:A\to B$ który jest $k-$linear i Leibniz (tj $v(fg)=v(f)g+fv(g)$) jest rodzajem operatora różniczkowego. Jednak tutaj nie jest jasne, co ma oznaczać reguła łańcucha. Reguła łańcucha zachodzi, gdy zastosujemy operator różniczkowy do połączenia funkcji w naszym układzie rozmaitościowym. W tym przypadku,$f\circ g$ nie ma nawet sensu a priori.
Proponuję następującą propozycję: Biorąc pod uwagę kategorię przestrzeni geometrycznych $\mathscr{C}$i „funkcja” $F: \mathscr{C}\to \mathscr{A}$, przypisując do każdej przestrzeni $X$ struktura algebraiczna $F(X)$, tak mówimy $F$przestrzega reguły łańcucha, jeśli$F$ jest funktorem w powyższym znaczeniu: dany $$ X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{g}Z$$ mamy $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$. Jest to co prawda trochę niejasne, ale ilustruje to, czego „użyliśmy” do zdefiniowania reguły łańcucha.