Czy zerowy rho Spearmana implikuje zerową kowariancję?
Na pytanie o tytuł odpowiedziałbym „intuicyjnie” tak,
używając następującego nieformalnego argumentu: Kowariancja „mierzy siłę liniowej asocjacji” (po przeskalowaniu przez iloczyn odchyleń standardowych) między dwiema zmiennymi, podczas gdy rho Spearmana „mierzy siłę monotonicznego skojarzenia. "
Asocjacja liniowa jest podzbiorem asocjacji monotonicznej (nieprawdaż?), Stąd gdy miara asocjacji monotonicznej wynosi zero, miara asocjacji liniowej również powinna wynosić zero.
Ale nauczyłem się lekcji (i dlatego nie jestem zagrożeniem dla społeczeństwa) o łatwych „intuicyjnych” argumentach statystycznych. A moje próby formalnego zbadania tej hipotezy nie przyniosły jak dotąd rezultatu.
Więc: Czy zerowy rho Spearmana implikuje zerową kowariancję?
Czy możemy to formalnie udowodnić lub obalić nawet kontrprzykładem?
AKTUALIZACJA
Ten post zawiera również przykłady, że nie ma takiej relacji
Odpowiedzi
Przeciwprzykład:
X Y
1 500
2 1
3 2
4 3
5 4
W przypadku tych wartości
- Pearsona $r \approx -0.70$
- Włócznik $\rho = 0$
Ta pojedyncza duża wartość Y wpływa na kowariancję w znacznie większym stopniu niż na współczynnik korelacji rang Spearmana.
Nie. Łatwo zrozumieć, dlaczego. Przypadek użycia korelacji rang ma miejsce, gdy nie jesteśmy zadowoleni z korelacji Pearsona, np. Z jej skłonnością do wypadania z wartości odstających. Dlatego też korelacja Spearmana nie powinna odpowiadać wynikom korelacji Pearsona.
Czasami zerowa korelacja Spearmana pokrywa się z zerową korelacją Pearsona i w konsekwencji zerową kowariancją, ale nie jest to przypadek ogólny.