Czy złożenie wielomianu całkowitego i wielomianu wymiernego ze współczynnikiem niecałkowitym może skutkować wielomianem całkowitym?

Question

Czy możemy znaleźć dwa wielomiany $p(x)$ i $q(x)$, gdzie $p(x)$ jest niestałym wielomianem monicznym na liczbach całkowitych i $q(x)$ jest wielomianem monicznym nad wymiernymi z co najmniej jednym współczynnikiem niecałkowitym, takim, że ich skład $p(q(x))$jest wielomianem na liczbach całkowitych? Jeśli nie, jak to udowodnić?

Na przykład niech $q(x)=x^2+\frac{1}{2}x+1$ i $p(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$, następnie $p(q(x))=x^6+\frac{3}{2}x^5+\dots$, więc bez względu na liczby całkowite $a_i$wybierzemy, wynikowy wielomian będzie miał współczynnik niecałkowity. Warunek moniczny jest ważny, bo inaczej moglibyśmy się rozmnażać$p(x)$z taką liczbą całkowitą, która gwarantowałaby, że wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi. Próbowałem przyjrzeć się współczynnikowi w składzie dla ogólnych wielomianów, które moim zdaniem powinny być zgodne z następującym wzorem:

\ begin {align} [x ^ r] p (q (x)) = \ sum_ {k_1 + 2k_2 + \ dots + mk_m = r} \ sum_ {k_0 = 0} ^ {n- (k_1 + \ dots + k_m)} \ binom {k_0 + k_1 + \ dots + k_m} {k_0, k_1, \ dots, k_m} a_ {k_0 + k_1 + \ dots + k_m} \ left (\ prod_ {j = 0} ^ {m} b_j ^ {k_j} \ right) \ end {align} (tutaj$a_i$ i $b_i$ są współczynnikami $p(x)$ i $q(x)$ ze stopniami $n$ i $m$odpowiednio). Jednak nie jest wcale jasne, na którym współczynniku należy się skupić, aby udowodnić, że da liczbę niecałkowitą.

Powstało to podczas próby rozwiązania problemu https://math.stackexchange.com/questions/3785073/infinitely-many-solutions-leads-to-existence-of-a-polynomial, ale sam w sobie wydaje się wystarczająco interesujący.

Answer 1

W rzeczywistości możemy zignorować założenie, że $q$jest monic. Kompozycja$p \circ q$ nie może mieć wszystkich współczynników całkowitych.

Niech $p$ być głównym czynnikiem jakiegoś w pełni uproszczonego mianownika współczynnika $q$. Rozważ największe$k$ św $p^k$ jest czynnikiem pewnego mianownika a $q$współczynnik. Następnie napisz wielomian$q$ tak jak $x^j w(x) / p^k + s(x)$, gdzie każdy w pełni uproszczony licznik $w(x)$ nie jest podzielna przez $p$ i nie ma w pełni uproszczonego mianownika $s(x)$ jest podzielna przez $p^k$, i gdzie $w$ma niezerową stałą wartość. Zrób to, grupując wszystkie terminy z mianownikami podzielnymi przez$p^k$, uzyskanie $x^j w(x) / p^k$i wszystkie wyrazy z mianownikami, których nie można podzielić przez $p^k$, uzyskanie $x(x)$.

Pozwolić $n$ być stopniem $p$i rozważ współczynnik $x^{jn}$ w $p \circ q$. Jednym ze szczytów przyczyniających się będzie$w(0)^n / p^{kn}$, który jest w pełni uproszczony. Żadne z pozostałych szczytów nie może mieć mianownika podzielnego przez$p^{kn}$. Więc ten współczynnik nie jest liczbą całkowitą.