Definicja łączności i intuicja

Aug 15 2020

Mówimy o przestrzeni topologicznej $X$być połączone, jeśli nie może być zapisane jako rozłączny związek dwóch niepustych otwartych podzbiorów. Intuicyjna łączność oznacza, że ​​nasza przestrzeń topologiczna jest pojedynczym elementem, nie jestem w stanie zrozumieć, jak powyższa definicja oddaje intuicję. Proszę pomóż.

Odpowiedzi

7 HennoBrandsma Aug 15 2020 at 19:52

Jeśli oczywiście jakieś miejsce $X$ mając dwa lub więcej punktów można zapisać jako $A \cup B$, z $A,B$rozłączne i niepuste, na wiele sposobów. Ale bycie odłączonym oznacza, że ​​jest na to sposób, który nie ma sensu$A$ jest blisko do" $B$ i nie ma sensu $B$ jest blisko do" $A$. Bycie blisko jest sformalizowane w topologii przez bycie w zamknięciu. Więc nazwij przestrzeń$X$ odłączony, kiedy możemy go zapisać jako $A \cup B$, oba zbiory niepuste i takie $\overline{A} \cap B = \emptyset$ (nie ma sensu $B$ jest blisko do $A$) i $A \cap \overline{B} = \emptyset$ (nie ma sensu $A$ jest blisko do $B$). Ale to implikuje, że$$X\setminus B= A \subseteq \overline{A} \subseteq X\setminus B$$ a więc w szczególności $A=\overline{A}$ i $A$zamknięte. Symetrycznie,$B$ jest również zamknięty i jak $A$ i $B$ są komplementami, $A$ i $B$ są również otwarte (co można również zobaczyć w następujący sposób, np. jeśli $x \in A$ nie były punktem wewnętrznym $A$, w każdej okolicy $x$ zawierałby nie$A$ punkty, więc punkty $B$, tak jak $A\cup B=X$. A jeśli w każdym sąsiedztwie$x$ przecina się $B$, $x \in \overline{B}$, ale nie zakładaliśmy sensu $x$ z $A$ był blisko $B$...)

Więc jesteśmy przy definicji pytania, nazywając przestrzeń, która nie jest odłączona w tym sensie, „połączoną”. W rzeczywistości jest to równoznaczne z pytaniem w definicji odłączenia o jednocześnie otwarte części, jednocześnie zamknięte części lub „oddzielone” części (jako pierwsza definicja).

3 Vercassivelaunos Aug 15 2020 at 19:32

Jeśli pociąć jakiś połączony zestaw na dwie części, to w miejscu cięcia jedna z dwóch części będzie „otwarta”, a druga „zamknięta”. Na przykład, jeśli przecinasz prawdziwą linię na dwie części w punkcie$a\in\mathbb R$, dostaniesz dwie sztuki $(-\infty,a],(a,\infty)$lub $(-\infty,a),[a,\infty)$. Co najmniej jeden z nich ma zamkniętą granicę w$a$. Punkty należące do cięcia muszą być zawarte w jednym z dwóch elementów, a ten element będzie miał punkt cięcia jako punkt graniczny. Podobnie w przypadku bardziej skomplikowanych przestrzeni: linia, wzdłuż której przecinamy, musi być rozłożona na dwie części, dając im granicę, uniemożliwiając ich otwarcie.

Oczywiście nie musimy ciąć wzdłuż linii / płaszczyzny / cokolwiek, ale jest to przypadek, w którym intuicja jest najbardziej oczywista.