Dlaczego macierze kowariancji są rzutowane zarówno przez prawą, jak i lewą stronę?

Question

Ostatnio dużo pracowałem nad filtrowaniem Kalmana. Wyprowadziłem wszystkie równania, zaczynając od podstawowego liniowego problemu odwrotnego, więc ściśle mówiąc, wiem, skąd wszystko się bierze. Uważam również, że ten bardziej obrazowy przykład jest pouczający dla utrwalenia intuicji.

Ale nie pamiętam dokładnie ani nie wiem, dlaczego projektuję macierz, powiedzmy, macierz kowariancji$P$z jednej przestrzeni do drugiej, powiedzmy transformację $H$podano jako $HPH^T$.

Projekcja wektora przez mnożenie z lewej strony ma sens $Hv$.

Dlaczego w przypadku matryc jest to dodatkowe $H^T$ wychodzenie poza tym, że to sprawia, że ​​wymiary się sprawdzają?

Answer 1

Teraz, gdy znów patrzę, widzę tożsamość

Rezultatem jest szybkie wyszukiwanie w Wikipedii

To działa, ponieważ $X$ ma wartość 0, więc drugi człon w środku znika, a $A$ i $A^T$ można wyodrębnić z pierwszego oczekiwania, pozostawiając $AE[XX^T]A^T$, gdzie $E[XX^T] = \Sigma$.