Dlaczego ta sekwencja nie jest jednolicie zbieżna?
W tym problemie jest to wyjaśnione $f_n(x)$jest zbieżna punktowo, ale nie jest zbieżna jednolicie. Podano również wyjaśnienie, dlaczego nie jest jednolicie zbieżne. Jednak nie mogę tego zrozumieć, kiedy używam poniższego twierdzenia, otrzymuję tę granicę$f_n - f = 0$ Czy ktoś mógłby mi udzielić bardziej szczegółowej odpowiedzi, dlaczego sekwencja jest jednolicie zbieżna?


Odpowiedzi
Od $\displaystyle(\forall n\in\Bbb N):\left|f_n\left(\frac1{2n}\right)\right|=\frac n4$, ty masz $\displaystyle\sup_{x\in[0,1]}\left|f_n(x)\right|\geqslant\frac n4$. Innymi słowy,$\displaystyle\|f-f_n\|_\infty\geqslant\frac n4$aw szczególności nie jest to prawdą$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\|f-f_n\|_\infty=0$. Tak więc konwergencja nie jest jednolita.
Najpierw musisz określić punktowy limit. Pozwolić$x\in[0,1]$. Dla$n>1/x$, $f_n(x)=0$, więc punktowa granica wynosi $0$.
Jak pokazuje wyjaśnienie, mamy $\|f_n\|_\infty=n/4$. A zatem,$\lim_{n\rightarrow\infty}\|f_n\|_\infty=\lim_{n\rightarrow\infty}n/4=\infty$ a używając cytowanego przez ciebie twierdzenia, granica rozbieżności supremy jest równoważna $f_n$ nie zbiegają się równomiernie.
Z definicji zbieżności ciągu w znormalizowanej (lub w ogólnej przestrzeni metrycznej) przestrzeni ciąg (fn) nie może zbiegać się do f, ponieważ norma (tutaj jest to sup-norma) z (fn - f)> = 1/4 dla wszystkich n.