Dlaczego ważne jest, aby zapisać funkcję jako sumę funkcji parzystych i nieparzystych?
Za funkcję $f(x)$ możemy zapisać to jako sumę funkcji parzystych i nieparzystych:
$$f(x)=\underbrace{\frac{f(x)+f(-x)}{2}}_{\text{Even}}+\underbrace{\frac{f(x)-f(-x)}{2}}_{\text{Odd}}$$
Moje pytanie brzmi: dlaczego ważne jest, abyśmy zapisali funkcję jako sumę tych dwóch parzystych i nieparzystych funkcji? Czy ma to jakieś zastosowanie?
Odpowiedzi
Kiedy byłem licealistą, myślałem, że parzysty / nieparzysty rozkład, o którym piszesz, wydawał się dziwny i nie tak fundamentalny. Po nauczeniu się większej ilości matematyki zdałem sobie sprawę, że metoda za nią stojąca (wyodrębnianie "elementów symetrycznych" przez uśrednianie i to, co można nazwać anty-uśrednianiem) jest w rzeczywistości bardzo prostym przykładem dwóch ważnych procesów w matematyce: rozkładów w przestrzeni własnej i uśredniania w grupie w celu wyodrębnienia symetrycznego fragmenty funkcji (lub wektora itp .). To, co piszę poniżej, nie ma na celu przedstawienia nowych sytuacji, w których rozkład parzysty / nieparzysty pomaga rozwiązać problem z rachunkiem różniczkowym, ale aby pokazać wiele dalszych przykładów tej samej idei, więc widzisz, że występuje ona dość szeroko w matematyce.
W prawie każdej sytuacji, w której istnieje operacja, która powtarza się dwukrotnie, aby być operacją tożsamości , otrzymujesz analogię rozkładu parzystego / nieparzystego. Oto trzy przykłady.
Macierz transponowana (gdzie $M^{\top\top} = M$) prowadzi do wyrażenia macierzy kwadratowej jako sumy macierzy symetrycznych ($M^\top = M$) i skośno-symetryczne ($M^\top = -M$) $$ A = \frac{A + A^\top}{2} + \frac{A - A^\top}{2} $$
Złożona koniugacja (gdzie $\overline{\overline{z}} = z$) daje "parzysty / nieparzysty" punkt widzenia na zapisywanie liczby zespolonej w standardowej postaci $a+bi$, ponieważ jest to suma liczby rzeczywistej (dopasowanie $\overline{w} = w$) i czysto urojoną liczbą (dopasowanie $\overline{w} = -w$): $$ z = \frac{z + \overline{z}}{2} + \frac{z - \overline{z}}{2} = a + bi $$ gdzie $z = a + bi$ i $\overline{z} = a - bi$.
Operator zamiany na funkcjach ($f(x,y) \mapsto f(y,x)$) lub tensory ($v \otimes w \mapsto w \otimes v$) prowadzi do wyrażenia funkcji lub tensora jako sumy funkcji symetrycznych i antysymetrycznych lub tensorów: $$ f(x,y) = \frac{f(x,y) + f(y,x)}{2} + \frac{f(x,y) - f(y,x)}{2} $$ i $$ v \otimes w = \frac{v \otimes w + w \otimes v}{2} + \frac{v \otimes w - w \otimes v}{2}. $$ Odgrywa to rolę w mechanice kwantowej, gdzie leży u podstaw rozróżnienia między bozonami (posiadającymi symetryczne funkcje falowe) a fermionami (posiadającymi antysymetryczne funkcje falowe).
Powiedziałem, że prawie w każdej sytuacji uzyskuje się coś w rodzaju rozkładu parzystego / nieparzystego, ponieważ czasami jedna z tych części ma wartość zero, a zatem jest nieinteresująca. Na przykład obrót o 180 stopni$R$ samolotu $R(v) = -v$ dla wszystkich $v$ w $\mathbf R^2$, więc tutaj cała przestrzeń „wygląda dziwnie” pod wpływem $R$. Brak wektora w$\mathbf R^2$ jest ustalany przez obrót o 180 stopni, z wyjątkiem początku.
Użycie „order $2$„tutaj algebra jest bardzo prosta, ale możemy również rozważyć symetrie wyższego rzędu zamiast symetrii rzędu 2. Rozważ dla każdego$n \geq 1$ próbując rozłożyć funkcję $f:\mathbf C \to \mathbf C$ jako suma funkcji $f_k(z)$ które są „przekręcone” przez $k$moce pod skalowaniem wewnętrznym przez an $n$korzeń jedności: $f_k(\zeta z) = \zeta^k f_k(z)$ dla wszystkich $n$korzenie jedności $\zeta$ (lub równoważnie po prostu $\zeta = e^{2\pi i/n}$) i wszystkie liczby zespolone $z$, gdzie $0 \leq k \leq n-1$. Walizka$n=2$ jest włączone funkcje parzyste / nieparzyste $\mathbf C$ ($f_0(-z) = f_0(z)$ znaczy $f_0$ jest funkcją równą i $f_1(-z) = -f_1(z)$ znaczy $f_1$jest nieparzystą funkcją). Nabierający$n = 4$, możemy spróbować rozłożyć każdą funkcję $f:\mathbf C \to \mathbf C$ jako suma czterech funkcji $$ f(z) = f_0(z) + f_1(z) + f_2(z) + f_2(z) $$ gdzie $f_0(iz) = f_0(z)$, $f_1(iz) = if_1(z)$, $f_2(iz) = -f_2(z)$, i $f_3(iz) = -if_3(z)$ dla wszystkich $z \in \mathbf C$Oto wzory na każdą z funkcji: $$ f_0(z) = \frac{f(z) + f(iz) + f(-z) + f(-iz)}{4}, $$ $$ f_1(z) = \frac{f(z) - if(iz) - f(-z) + if(-iz)}{4}, $$ $$ f_2(z) = \frac{f(z) - f(iz) + f(-z) - f(-iz)}{4}, $$ $$ f_3(z) = \frac{f(z) + if(iz) - f(-z) - if(-iz)}{4}. $$ Te formuły uśredniające są uogólnieniem formuł, które napisałeś do określania parzystych / nieparzystych części funkcji $\mathbf R \to \mathbf R$. Jest to przydatne w analizie Fouriera, ponieważ transformata Fouriera na funkcjach ma porządek$4$.
Przedstawione tutaj idee rozciągają się jeszcze dalej do dekompozycji reprezentacji skończonej grupy jako sumy nieredukowalnych reprezentacji. Dla cyklicznej grupy porządku$2$istnieją dwie nieredukowalne reprezentacje i jest to odzwierciedlone w wyglądzie funkcji parzystych i nieparzystych w twojej formule. Zatem parzysty / nieparzysty rozkład funkcji w twoim pytaniu jest specjalnym przypadkiem naprawdę ważnej idei matematycznej. Nie jest to zwykła „sztuczka” rozwiązywania problemów ze sztucznym rachunkiem różniczkowym.
Jedną naprawdę fajną aplikacją do tego rozkładu (którą widziałem na kanale YouTube „Flammable Maths”) jest obliczanie całek postaci $$\int_{-a}^a\Bigg(\frac{E(x)}{1+t^{O(x)}}\Bigg)dx$$ gdzie $t,a>0$ są stałymi, $E(x)$ jest (ciągłą) funkcją parzystą, a $O(x)$jest (ciągłą) funkcją nieparzystą. Jeśli ustawisz$f(x)=\frac{E(x)}{1+t^{O(x)}}$ i napisz $$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$ możesz to powiedzieć $$\int_{-a}^a\Bigg(\frac{E(x)}{1+t^{O(x)}}\Bigg)dx=\int_{-a}^a\Bigg(\frac{f(x)+f(-x)}{2}\Bigg)dx+\int_{-a}^a\Bigg(\frac{f(x)-f(-x)}{2}\Bigg)dx$$Ostatnia całka na RHS znika, ponieważ integrujemy nieparzystą funkcję w dziedzinie symetrycznej. Z odrobiną algebry$\frac{f(x)+f(-x)}{2}=\frac{1}{2}E(x)$ dając nam niesamowity wynik $$\int_{-a}^a\frac{E(x)}{1+t^{O(x)}}dx=\int_{0}^aE(x)dx$$co jest naprawdę fajne! Oznacza to, że możemy powiedzieć coś takiego$$\int_{-1}^1\Bigg(\frac{x^4-x^2+1}{1+3^{\sin^2(x)\tan(x)+x^5+x}}\Bigg)dx=\int_0^1\big(x^4-x^2+1\big)dx=\frac{13}{15}$$ Można tego również użyć do obliczenia dość paskudnych całek podwójnych! $$\int_0^1 \int_{-x^2}^{x^2}\Bigg(\frac{xy^2+x^3}{1+3^{x\tan^{11}(y)+e^x\sin^7(y)}}\Bigg)dydx=\int_0^1 \int_0^{x^2}(xy^2+y^3)dydx=\frac{5}{24}$$ Kocham to.
Edycja : Ta technika integracji w rzeczywistości uogólnia na całki postaci$$\int_{-a}^a\Bigg(\frac{E_1(x)}{1+\big(E_2(x)\big)^{O(x)}}\Bigg)dx$$ gdzie $E_1(x),E_2(x)$ są dowolnymi (ciągłymi) funkcjami parzystymi, podczas gdy $O(x)$jest dowolną (ciągłą) funkcją nieparzystą. Używając dokładnie tej samej procedury opisanej powyżej, możemy powiedzieć$$\int_{-a}^a\Bigg(\frac{E_1(x)}{1+\big(E_2(x)\big)^{O(x)}}\Bigg)dx=\int_{0}^aE_1(x)dx$$ co znaczy $$\int_{-1}^1\Bigg(\frac{x^4+x^2+1}{1+\big(x^2e^{-x^4}+\cos(x)\sin(x^2)\big)^{x^2\tan(x^3)+x}}\Bigg)dx=\int_0^1(x^4+x^2+1)dx=\frac{23}{15}$$
Odpowiedź KCd wspomina mimochodem, o czym będę mówić, ale ja ją rozwinę: krótka odpowiedź to analiza Fouriera .
Podział funkcji na nieparzyste i parzyste składowe jest niezwykle przydatną techniką rozwiązywania problemów podczas pracy z transformatą Fouriera i związanym z nią szeregiem Fouriera . Funkcja, która jest czysto parzysta lub nieparzysta, jest łatwiejsza do znalezienia transformaty / szeregu Fouriera.
Może się to wydawać tematem niszowym, ale analiza Fouriera jest jedną z najpotężniejszych i najpowszechniej stosowanych technik matematycznych. Nie możesz zajść daleko w żadne pole STEM bez napotkania go, więc ułatwienie analizy Fouriera jest ważniejsze, niż mogłoby się wydawać.
W Internecie jest mnóstwo wiedzy na temat tego, czym jest analiza Fouriera i jak działa, więc nie będę jej tutaj powtarzać. Uważam, że ten film na YouTube jest dobrym wprowadzeniem do tematu.
Słynny przykład rozkładu funkcji nieparzystych i parzystych podaje wzór Eulera \begin{align*} \color{blue}{e^{iz}}&\color{blue}{=}\color{blue}{\cos z+i\sin z}\\ &=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}+\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}\qquad\qquad z\in\mathbb{C}\\ \end{align*} który jest używany w wielu aplikacjach.