Dlaczego wszelki ruch w sztywnym ciele ustaje natychmiast?
Czytałem książkę, w której przedstawiono problem:
Niezadowolony hokeista rzuca kijem hokejowym po lodzie. Obraca się wokół środka masy, gdy się ślizga i ostatecznie zostaje zatrzymany przez działanie tarcia. Jego ruch obrotowy zatrzymuje się w tym samym momencie, w którym środek masy zatrzymuje się, a nie przed i nie po. Wyjaśnij dlaczego.
Widziałem podobne pytanie w: Dlaczego kij hokejowy rzucany na lód zawsze obraca się i tłumaczy razem, zanim spocznie? Dlaczego nie tylko obracać, czy tylko tłumaczyć? ale nie czułem się zadowolony z odpowiedzi.
Pytanie znajdowało się w rozdziale poświęconym energii, więc próbowałem rozwiązać je energią. Pomyślałem, że skoro siła tarcia na COM była F i przed zatrzymaniem pokonała odległość s, to możemy napisać równanie$\frac{1}{2}mv^2 = Fs$gdzie LHS reprezentuje początkową energię kinetyczną. Moglibyśmy również napisać podobne równanie dla energii obrotowej, ale nie jestem pewien, co dalej robić. Czy rozsądne jest w ogóle próbowanie udowodnienia tego w sposób rygorystyczny lub tylko poprzez rozumowanie?
Kolejnym pytaniem, które pojawiło się podczas zastanowienia się nad tym pytaniem, było to, jak zmierzyć moment obrotowy powodowany przez tarcie, ponieważ jest on rozłożony na drążku, a nie tylko w jednym punkcie?
Odpowiedzi
Jeśli drążek jest prętem, mającym zwykły kontakt z podłożem na całej swojej długości, siła tarcia przeciwna obrotowi sugeruje modelowanie go jako 2 belek wspornikowych z równomiernie rozłożonym obciążeniem, zamocowanych w COM. Obciążenie tarcia rozkłada się na całej jego długości, uzyskując max. moment obrotowy bliski COM i zero na końcach.
Zatem dla małego obszaru blisko końców, całkowity moment obrotowy wynika tylko z obciążenia tego obszaru: $$\delta \tau = \delta I\frac{d\omega}{dt}$$ $\delta \tau = \delta Fr$ a siła tarcia w elemencie wynosi $\delta F = \mu \delta N = \mu \delta m g$
Moment bezwładności $\delta I = \delta m r^2$ i $$\omega = \frac{v}{r}$$
Więc, $$\mu \delta m g r = \delta m r^2 \frac{1}{r} \frac{dv}{dt} \implies \frac{dv}{dt} = \mu g $$
Jeśli oszacujemy siłę zmniejszającą średnią prędkość translacji w tym samym regionie: $$\delta F = \delta m\frac{dv_t}{dt} = \mu \delta N = \mu \delta mg \implies \frac{dv_t}{dt} = \mu g$$
Przy tym samym przyspieszeniu muszą się razem zmniejszać. Jeśli zdarzy się to na końcach drążka, całe ciało przestanie się obracać i poruszać liniowo w tym samym czasie dla tego modelu.
Ale jeśli na przykład część środkowa ma styk, ale nie końce, jest całkowicie możliwe, że pręt nadal się obraca, po zatrzymaniu jego ruchu postępowego.
Myślę, że to stwierdzenie nie jest poprawne. Ogólnie rzecz biorąc, przesuwający się obiekt może przestać się obracać lub przesuwać przed zatrzymaniem innego ruchu. Może być tylko jeden.
Na przykład weź jednolity dysk. Zakręć i połóż na lodzie. Przez chwilę będzie się obracać w miejscu i zatrzyma się. Podobnie przesuń go bez obracania. Zsunie się i zatrzyma.
Jak pokazuje post, do którego utworzyłeś link, kij hokejowy jest wyjątkowy. Ma różne współczynniki tarcia na różnych końcach. To może sprawić, że zacznie się obracać, jeśli zaczniesz go po prostu przesuwać. Ale to nie musi. Wsuń go końcem o wysokim współczynniku tarcia do tyłu, trochę jak strzelanie z łuku i strzały. Przesunie się do zatrzymania bez obracania się.
Jeśli nieco go obrócisz i z dużą prędkością, tarcie może zorientować go, zanim się zatrzyma.
Po przeczytaniu pozostałych odpowiedzi (+1 dla obu) dochodzę do wniosku, że moja intuicja się myliła. Rotacja i tłumaczenie zatrzymują się w tym samym czasie.
Oto artykuł, który analizuje sprzężenie ruchu ślizgowego i obrotowego z cienkimi dyskami i dlaczego oba ruchy zatrzymują się w tym samym czasie. Artykuł przedstawia model matematyczny i przedstawia wyniki eksperymentów z płytą CD na nylonowej powierzchni, które sprawdzają teorię.
Edycja w odpowiedzi na komentarze: Model matematyczny zakłada płaski dysk o równomiernym rozkładzie masy i wyraźnie ignoruje skutki jego skończonej wysokości (niejednorodna siła normalna prowadząca do zakrzywionych trajektorii). Eksperymenty wykorzystują CD jako przybliżenie. Wierzch może zachowywać się inaczej, chociaż widzę, że czubek topu „wędruje” po powierzchni w wyniku działania sił (takich jak precesja, podmuch powietrza lub nierówności powierzchni), które zdecydowanie nie wystarczą, aby się poruszyć gdyby się nie obracał.
Podstawową przyczyną tej interakcji między wirowaniem a ślizganiem jest to, że tarcie dynamiczne jest niezależne od prędkości ruchu; zależy tylko od siły normalnej (tutaj siły grawitacji) i stałych materiałowych. Jego kierunek w każdym punkcie powierzchni jest przeciwny do kierunku prędkości tego punktu. W przypadku szybko obracającego się, ślizgającego się obiektu wszystkie wektory prędkości są prawie całkowicie styczne, ponieważ część obrotowa dominuje nad wektorami. Wielkość wektorów jest bardzo duża, ale nieistotna: siła tarcia nie jest od niej zależna. W konsekwencji siły tarcia są również prawie całkowicie styczne; przeważnie znoszą się wzajemnie w odniesieniu do ruchu do przodu i spowalniają tylko obrót. 1
W efekcie moment tarcia (który spowalnia obrót) jest wyższy niż liniowa siła tarcia (która zatrzymuje ruch do przodu), jeśli obrót jest szybki w porównaniu z ruchem do przodu - i odwrotnie. Dlatego „szybszy” jeden z dwóch ruchów jest bardziej hamowany, aż do wyrównania się i zatrzymania razem. Poniższy rysunek (s. 2 artykułu) pokazuje tę współzależność.$\epsilon$ jest ilorazem ruchu do przodu i ruchu kątowego, $v/R\omega$. Dla małego ruchu liniowego, ale szybkiego obrotu dominuje moment tarcia (lewa strona rysunku (a)), a dla szybkiego ruchu liniowego z niewielkim obrotem dominuje tarcie liniowe (prawa strona rysunku):
1 Jest to dość niezwykłe: często „dzielimy” prędkości lub siły na ich części składowe i rozważamy je indywidualnie, niezależnie. W tym przypadku jednak składowa boczna wpływa na tarcie wzdłużne, ponieważ zmienia kierunek wektora i odwrotnie: Ponieważ tarcie w danym kierunku nie zależy od wielkości składowej wektora w tym kierunku. Wielkość tego składnika jest stała, tarcie nie. Całkiem sprzeczne z intuicją.