Dokładne znaczenie $\ll_{n, \varepsilon}$ w pracy z teorii liczb

Nov 26 2020

Po przeczytaniu tego artykułu Dietmanna natknąłem się na następującą linię

$N_n(H;G) \ll_{n, \varepsilon} H^{n - 1 + \delta_G + \varepsilon}$

który pojawia się w twierdzeniu Twierdzenia $1$. Co dokładnie oznacza symbol$\ll_{n, \varepsilon}$ znaczy w tym kontekście?


Dietmann nie wyjaśnia, co oznacza ta notacja i nigdy wcześniej jej nie widziałem. Lewa strona tej „nierówności” nie zależy od$\varepsilon$, wbrew temu pytaniu , ale po przeczytaniu odpowiedzi tam przypuszczam

Dla wszystkich $\varepsilon > 0,$ istnieją stałe $M, K > 0$ takie, że dla wszystkich $n > M$, mamy to $N_n(H;G) \leq K H^{n - 1 + \delta_G + \varepsilon}$.

Po przeczytaniu tego wpisu na blogu Terence'a Tao i przyjrzeniu się jego stwierdzeniu hipotezy ABC (która używa notacji$\ll_\varepsilon$) i patrząc na odpowiednią stronę Wikipedii , która wyraża hipotezę ABC w zakresie kwantyfikatorów, myślę, że$N_n(H;G) \ll_{n, \varepsilon} H^{n - 1 + \delta_G + \varepsilon}$ może również znaczyć

Dla wszystkich liczb całkowitych $n \geq 1$, $\varepsilon > 0$istnieje stała $K$ takie że $N_n(H;G) \leq K H^{n - 1 + \delta_G + \varepsilon}.$

Odpowiedzi

2 Adam Nov 26 2020 at 10:24

$X \ll_{n,\epsilon} Y$ zazwyczaj oznacza, że ​​istnieje „stała” $C$ co zależy od parametrów $n$ i $\epsilon$ takie że $X \leq C \cdot Y$. Ma to znaczenie, jeśli weźmiesz pod uwagę$X$ i $Y$ jako funkcje innych zmiennych poza $n$ i $\epsilon$i leczyć $n$ i $\epsilon$ jako parametry.