Ergodyczność w transformacji

Question

Przypuszczać $\Omega := [0,1]^{\mathbb Z}$ jest wyposażony w topologię produktu i wyposażony w Borel $\sigma$-algebra $\mathcal B(\Omega)$ i istnieje miara prawdopodobieństwa $\mathbb P$ na $(\Omega,\mathcal B(\Omega))$ takie, że przesunięcie $T:\Omega \to \Omega$, $$T(\omega)(k) := \omega(k+1),\quad \omega\in\Omega,k\in \mathbb Z$$ jest środkiem konserwującym, tj $\mathbb P = \mathbb P \circ T^{-1}$ na $\mathcal B(\Omega)$i ergodyczne, tj $A=T^{-1}(A)$ sugeruje $\mathbb P (A)\in\{0,1\}$ dla każdego $A\in\mathcal B(\Omega)$. Teraz pozwól$f:[0,1]^3\to[0,1]$ mierzalna funkcja i $U:\Omega \to \Omega$ transformacja zdefiniowana przez $$ U(\omega)(k) := f(\omega(2k-1),\omega(2k),\omega(2k+1)),\quad \omega\in\Omega,k\in\mathbb Z.$$ Rozważamy miarę prawdopodobieństwa $\widetilde {\mathbb P}:= \mathbb P\circ U^{-1}$ gdzie $U^{-1}$ oznacza przedobraz.

Następnie przez $T\circ U= U\circ T^2$, to trzyma $(\Omega,\mathcal B(\Omega), \widetilde {\mathbb P},T)$jest nadal systemem dynamicznym zachowującym miary. Czy jest również ergodyczny?

Edycja: jakie są przykłady miar prawdopodobieństwa$\mathbb P$ na $\mathcal B(\Omega)$ i zestawy $A\in\mathcal B(\Omega)$ takie że $T^{-2}(A)=A$ ale $\mathbb P(A)\notin \{0,1\}$ (a zatem koniecznie $T^{-1}(A)\neq A$)?

Answer 1

Odpowiedź jest przecząca: niech \begin{align*} \mathbb P &:= \frac 1 2 \left(\delta_{\left(\mathbb 1_{2 \mathbb Z}(k)\right)_{k\in \mathbb Z}} + \delta_{\left(\mathbb 1_{2 \mathbb Z+1}(k)\right)_{k\in \mathbb Z}} \right), \\ A &:= \left\lbrace (1)_{k\in\mathbb Z} \right\rbrace ,\\ f(x,y,z) &:= y. \end{align*}

Prawdopodobieństwo $\mathbb P$ odpowiada nieredukowalnemu łańcuchowi Markowa w przestrzeni stanów $\{0,1\}$ z macierzą przejść $P = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1& 0\end{pmatrix}$ który ma unikalną dystrybucję stacjonarną $(\frac 1 2 \,\,\, \frac 1 2)$. W świetle odpowiedzi na tę matematykę, E kwestionuje układ dynamiczny$(\Omega,\mathcal B(\Omega),\mathbb P, T)$jest zachowujący miary i ergodyczny (ale nie mieszający). Teraz,$T^{-1}(A)=A$ ale $$U^{-1}(A) = \prod_{k\in \mathbb Z} \begin{cases} \{1\},&\quad k\in 2 \mathbb Z \\ [0,1],&\quad k\in 2\mathbb Z+1\end{cases}, $$ skąd $\widetilde{\mathbb P}(A) = \frac 1 2 $.