$G_2$ jako grupa izometrii przestrzeni rzutowej

Question

Wydaje się, że w klasyfikacji prostych algebr złożonych kłamstw, każda algebra kłamstwa odpowiada grupie izometrii przestrzeni rzutowej. SO (n + 1) to grupa izometrii na$RP^n$, SU (n + 1) jest izometrią $CP^n$, a SP (n + 1) jest izometrią $HP^n$.

John Baez wyjaśnia w swoim kursie o oktonionach, że wyjątkowe grupy kłamstw są grupami izometrii dla przestrzeni rzutowych zbudowanych z oktonionów, jak widać na Magic Square of Lie Algebras 1

$G_2$jest jedyną wyjątkową grupą kłamstw pominiętą w tym opisie i jest zwykle opisywana jako grupa automorfizmów Oktonianów, co jest miłe, ale zgodnie z wzorem wydaje się, że powinna to być również grupa izometrii jakiejś rozmaitości. Czy wiadomo, czym byłaby ta rozmaitość?

Answer 1

Za długi na komentarz, ale brak pełnej odpowiedzi:

Istnieje słynna realizacja, jak $G_2$ jako grupa symetrii „piłki toczącej się po innej piłce o 3-krotnym promieniu”.

Naprawdę nie wiem, co to znaczy, ale ilekroć wymyślisz sensowną parametryzację wszystkich możliwych konfiguracji dwóch kulek, nietrudno się przekonać, że jego rzecz ma strukturę rozmaitości. Być może ta różnorodność jest tym, co ma$G_2$symetria. Z drugiej strony, to tylko dotykanie się dwóch piłek. Jeśli w jakiś sposób pojęcie toczenia odgrywa poważniejszą rolę, mniej oczywiste jest, czy i jak można przeformułować historię na rozmaitość.

Ale dobrym punktem wyjścia byłoby wyszukanie w Google$G_2$ tocząca się piłka ”lub coś podobnego i zobacz, co się pojawi.

EDYCJA: ten cytat z Wikipedii (strona na $G_2$) dość dużo to wyjaśnia:

W 1893 roku Élie Cartan opublikowała notatkę opisującą otwarty zestaw w $\mathbb{C}^5$ wyposażony w rozkład dwuwymiarowy - to znaczy płynnie zmieniające się pole dwuwymiarowych podprzestrzeni przestrzeni stycznej - dla którego algebra Liego $\mathfrak{g}_{2}$pojawia się jako nieskończenie małe symetrie. [2] W tym samym roku, w tym samym czasopiśmie, Engel zauważył to samo. Później odkryto, że rozkład dwuwymiarowy jest ściśle powiązany z piłką toczącą się po innej piłce. Przestrzeń konfiguracji toczącej się kuli jest 5-wymiarowa, z 2-wymiarowym rozkładem opisującym ruchy kuli, podczas których toczy się ona bez ślizgania się ani skręcania.