Integracja $\frac{1}{x(x+1)(x+2)…(x+m)}$ [duplikować]

Question

Natknąłem się na to pytanie, $$\int \frac{1}{x(x+1)(x+2)...(x+m)} dx$$

Próbowałem podzielić funkcję wymierną na częściowe ułamki $$ \frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+2}+...+\frac{Z}{x+m}$$ Nie bardzo wiem, jak postępować z tego miejsca.

Czy ktoś może mnie oświecić wyjaśniając krok po kroku? Trochę łatwo się pogubię, gdy pomijane są pewne kroki.

Answer 1

Uwaga $$\frac{1}{x(x+1)(x+2)...(x+m)}=\sum_{k =0}^{m} \frac{a_k}{x+k} $$ gdzie $a_k$ uzyskuje się w następujący sposób \begin{align} a_k &=\lim_{x\to -k} \frac{x+k}{x(x+1)(x+2)...(x+k)...(x+m)}\\ &= \frac{1}{[(-k)(1-k)(2-k)(-2)(-1)]\cdot[(1)(2)...(m-k-1)(m-k)]}\\ &=\frac1{(-1)^k k!(m-k)!} \end{align} A zatem

$$\int \frac{dx}{x(x+1)(x+2)...(x+m)} =\int \sum_{k =0}^{m} \frac{a_k}{x+k}dx = \sum_{k =0}^{m} \frac{(-1)^k\ln|x+k|}{k!(m-k)!}+C $$