Izomorfizm $f:\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/561\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/51\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/187\mathbb{Z}$ [duplikować]

Question

Chciałbym znaleźć izomorfizm grupowy $f:\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/561\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/51\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/187\mathbb{Z} $. Z podstawowego twierdzenia skończonej grupy abelowej i twierdzenia o resztach chińskich wiemy, że te grupy są izomorficzne, ale chcę to pokazać, konstruując izomorfizm.

Nie wiem jednak, jaki jest pierwszy krok. Jedyne, co wiem, to to$f(0,0)=(0,0)$ ponieważ izomorfizm odwzorowuje element tożsamości na element tożsamości.

Wtedy zobaczyłem Jak skonstruować izomorfizm? i próbował naśladować sposób, na przykład$f(x,y)=(x\mod{51},y\mod{187})$, ale oczywiście nie jest to przesada.

Teraz utknąłem tutaj. Jakaś pomoc?

Answer 1

Przedstawiamy grupę pośrednią $\mathbb Z_{17}×\mathbb Z_3×\mathbb Z_{187}$. Reprezentuj dowolny element tej grupy jako$(a,b,c)$ gdzie indeksy są resztami modulo $17,3,187$ odpowiednio.

Istnieje izomorfizm z tej grupy do domeny $f$: $(a,b,c)\mapsto(a,187b+c)$. Istnieje również izomorfizm w kodomenie$f$: $(a,b,c)\mapsto(3a+b,c)$. Połącz te dwa izomorfizmy razem i masz wymagane$f$.