Jak agregować wierności wielu bramek
Wierność kubitu jest tutaj ładnie zdefiniowana , a wierność bramki jako „średnia wierność stanu wyjściowego w stosunku do czystych stanów wejściowych” ( zdefiniowana tutaj ).
Jak można połączyć wierności dwóch (lub więcej) bramek, aby uzyskać łączną całkowitą wierność bramek? Tak jak w przypadku, gdy kubit jest obsługiwany przez dwie (lub więcej) bramki, w jaki sposób możemy obliczyć oczekiwaną wierność kubitu (w porównaniu z jego pierwotnym stanem) po uruchomieniu przez te bramki, jeśli wszystko, co wiemy, to wierność bramki każda brama?
Wyobrażam sobie, że można to wyprowadzić z definicji wierności kubitowej ... Nie byłem w stanie tego rozgryźć. Dużo szukałem też w internecie i nie mogłem nic znaleźć. Wolę definicję na stronie wikipedii:$F(\rho, \sigma)=\left|\left\langle\psi_{\rho} \mid \psi_{\sigma}\right\rangle\right|^{2}$do porównywania stanu wejścia ze stanem wyjścia. Łatwo się z nim pracuje. Rozwiązanie wyjaśnione w tych terminach jest znacznie preferowane.
Odpowiedzi
Nie wiem, czy możesz dokładnie obliczyć łączną całkowitą wierność bramki, ponieważ procesy szumu zmniejszające wierność każdej bramki z osobna mogą składać się w nietrywialny sposób. Jeśli jednak znasz wierności poszczególnych bramek i te wierności spełniają określone właściwości, możesz ograniczyć całkowitą wierność bramek. Jest to „właściwość tworzenia łańcuchów dla wierności” (np. Nielsen i Chuang, punkt 9.3).
Załóżmy, że zamierzasz złożyć wniosek $U_1$ do $\rho$ jako pierwsza bramka w sekwencji, ale faktyczną operacją, którą stosujesz, jest mapa CPTP $\mathcal{E}_1(\rho)$ co jest hałaśliwą wersją $U_1$. Naturalnym sposobem pomiaru błędu jest zastosowana operacja:
$$ E(U_1, \mathcal{E}_1) = \max_\rho D(U_1 \rho U_1^\dagger, \mathcal{E}_1(\rho)) $$
gdzie $D(\rho, \sigma) = \arccos \sqrt{F(\rho, \sigma)}$ jest możliwym wyborem dla $D$, ale możesz użyć dowolnej miary dla stanów kwantowych. Znajdowanie maksymalnej odległości między$U_1 \rho U_1^\dagger$ i $\mathcal{E}_1(\rho)$ na macierzach gęstości $\rho$przedstawia najgorszy możliwy wynik, jaki można uzyskać dzięki hałaśliwej implementacji bramki. Następnie, jeśli zdefiniujesz błąd w podobny sposób dla$U_2$ i jego hałaśliwa realizacja $\mathcal{E}_2$ wtedy możesz to zagwarantować
$$ E(U_2 U_1, \mathcal{E}_2 \circ \mathcal{E}_1) \leq E(U_1,\mathcal{E}_1) + E(U_2, \mathcal{E}_2 ) $$
który mówi, że błąd najgorszego przypadku przy zastosowaniu obu bramek nie jest gorszy niż suma błędów najgorszego przypadku przy indywidualnym zastosowaniu bramek.
Niestety wierność $F(\rho, \sigma) =\text{Tr}( \rho \sigma)$ , którą podajesz, nie jest właściwą miarą stanów, więc nie możesz jej zastąpić we właściwości łańcuchowej powyżej.