Jak interpretować pierwiastek kwadratowy iloczynu wewnętrznego w dowolnym polu?
W wewnętrznej przestrzeni produktu norma $\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}$jest indukowany. Zdaję sobie sprawę, że prawie zawsze miałem do czynienia z liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, więc wziąłem pierwiastek kwadratowy za pewnik.
Czytanie wpisu produktu wewnętrznego w Wolfram (https://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html), To mówi „ przestrzeni wektorowej wraz z wewnętrznym produktu na nim nazywamy przestrzeń unitarna. Definicja ta odnosi się także do abstrakcyjnej przestrzeni wektorowej nad każdym polu. ” To zostało powiedziane po wprowadzeniu aksjomaty w kontekście przestrzeni ponad$\mathbb{R}$.
Jestem zdezorientowany, ponieważ nie wiem, jak interpretować pierwiastek kwadratowy w dowolnym polu. Zakładam, że oczywistym sposobem byłoby zdefiniowanie go jako elementu$a \in \mathbb{F}$ takie że $a^2 = \langle x,x\rangle$. Ale problem, który mam, polega na tym, skąd w ogóle wiemy, czy taki element istnieje w polu? Czy to standardowy wynik teorii pierścieni?
Zawsze rozumiałem, że wewnętrzne przestrzenie iloczynów (i przestrzenie znormalizowane) są definiowane tylko na podstawie liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jak je konstruujesz (lub coś równoważnego) na jakimś dowolnym polu?
Odpowiedzi
Twierdzenie nie ma sensu. W przestrzeniach wektorowych$V$ nad dowolnym polem $k$ mamy formy dwuliniowe $b(x,y)$. Gdy$k=\Bbb{C}$ patrzymy również na formy półtoraliniowe, co oznacza, że drugi argument jest liniowy po zastosowaniu automorfizmu $\sigma$pola (złożona koniunkcja). Ale wtedy możemy rozważyć$V$ jak $k^\sigma$ przestrzeń wektorową, aby była liniowa, więc załóżmy, że $b$ jest naprawdę liniowa.
$q(x) = b(x,x)$ jest formą kwadratową.
Pierwszą pożądaną właściwością jest to $b(x,y)=b(y,x)$ (gdy $char(k)\ne 2$ istnieje zgodność jeden do jednego między formami kwadratowymi i symetrycznymi formami dwuliniowymi).
Drugi to to $q(x)=0$ iff $x=0$. W tym wypadku$q$ mówi się, że jest anizotropowy.
Gdy $k$ jest polem uporządkowanym, istnieje trzecie: to $\forall x,q(x)\ge 0$. W przypadku poprzednich jest to definicja „$b$ jest iloczynem wewnętrznym. ”Kiedy tak jest $\|x\|=\sqrt{q(x)}$ jest jakąś normą (kiedy $k$ nie jest podpolem $\Bbb{R}$ następnie $\|x\|$nie ma prawdziwej wartości, więc jest to nieco inne). Myślisz, że zawsze tak było$\|x+y\| \le \|x\|+\|y\|$ ?
$\sqrt{q(x)}$ jest elementem algebraicznego rozszerzenia $k$ uzyskany przez dodanie wszystkich pierwiastków kwadratowych elementów $\ge 0$, to też jest zamówione przez $\sqrt{a}\ge \sqrt{b}$ iff $a\ge b$, a następnie stosując prawo zamówień.
Zwróć uwagę, że normy o wartościach rzeczywistych istnieją na przykład w innych polach $\|x\| = 0$ gdyby $x_1=x_2=0$ i $=1$ w przeciwnym razie jest to norma o wartościach rzeczywistych $k^2$ dla każdego pola - norma dla trywialnej wartości bezwzględnej $|a|_{tr}= 0$ gdyby $a=0$ i $=1$ w przeciwnym razie takie, że $\|ax\|=|a|_{tr} \|x\|$.