Jak obliczyć iloczyn kubka pochodnych limitów / kohomologii presheaf

Question

Mam ograniczoną kategorię $\mathcal{C}$, wraz z funktorem $F \colon \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{GradedCommRings}$. Gdyby$F_j$ jest $j$-tego stopnia kawałek $F$, potem piszę $H^i(\mathcal{C},F_j)$ dla $i$-ta pochodna odwrotna granica wykresu $\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ab}$grup abelowych. Równoważnie jest to$i$- kohomologia snopa snopa $F_j$, gdzie uważam $\mathcal{C}$ jako miejsce o trywialnej topologii Grothendiecka.

Obliczyłem różne $H^i(\mathcal{C},F_j)$. Składając je, powinna istnieć struktura produktu kubkowego$H^i(\mathcal{C},F_j) \otimes H^{i'}(\mathcal{C},F_{j'}) \to H^{i+i'}(\mathcal{C},F_{j + j'})$. Chciałbym obliczyć tę strukturę produktu.

Jedyną metodą, którą znam, jest kohomologia snopów, obejmująca jawne rozdzielczości, produkty tensorowe i kompleksy całkowite (patrz [1]). Niestety nie mam wyraźnej rozdzielczości$F$ lub $F \otimes F$: wydaje się to zbyt skomplikowane do zrobienia ręcznie, zwłaszcza, że ​​mój $F(c)$są zwykle generowane w nieskończoność. (W moim obliczeniu$H^i(\mathcal{C},F_j)$ Obejrzałem to, używając sekwencji widmowych, ale przesłaniają one strukturę produktu).

Dochodzę do następujących pytań:

• Czy ktoś zna bardziej wydajną metodę obliczania produktów kubkowych o kohomologii presheaf / limitach pochodnych?
• Jeśli nie, to czy istnieje oprogramowanie komputerowe, które mogłoby przejąć niektóre z zadań opisanych powyżej?

[1]: RD Swan. Produkty kubkowe w kohomologii snopów, czyste iniekcje i substytut rozdzielczości projekcyjnych.

Answer 1

Produkty kubkowe w kohomologii snopów (i preheaf) są często łatwe do obliczenia przez określenie źródła (powiedzmy w strukturze modelu rzutowego), a nie celu. Aby zapoznać się z przykładem rozwiązania źródła w ten sposób, zobacz Parowanie Yoneda, hiperkohomologia i produkt kubka

W rozważanym przypadku kategorię przednapędów kompleksów łańcuchowych na C można wyposażyć w rzutową strukturę modelu. Ten ostatni ma wyraźny funktor zastępujący kofibrant, który może być użyty do zapisania wyraźnej rozdzielczości rzutowej. Funktor zastępujący kofibrant jest dokładnie klasyczną konstrukcją słupkową stosowaną do sprzężenia między wstępnymi zębami kompleksów łańcuchowych na kompleksach łańcuchowych z indeksem C i Ob (C).