Jak rozwiązać $x^{T}Ax = 0$?
Podana macierz $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, jak mam rozwiązać $x^{T}Ax = 0$ dla $x \in \mathbb{R}^n$?
Oczywiście wektor zerowy jest zawsze rozwiązaniem i jeśli $A$jest pozytywna lub negatywna, nie ma innego rozwiązania. Interesują mnie jednak przypadki, w których$A$Nie jest. Wystarczy nakreślić kilka przykładów, że uważam, że rozwiązanie w dwuwymiarowym przypadku powinno zwykle opisywać jedną lub dwie linie, ale wymyka mi się rozwiązanie analityczne.
Pytanie Rozwiązywanie równań kwadratowych postaci$x'(A-B)x = 0$wydaje się być blisko spokrewniony, ale pyta tylko, czy istnieje rozwiązanie, a nie jak to wygląda i pyta o złożoną sprawę. I, prawdę mówiąc, i tak nie do końca rozumiem odpowiedź.
Odpowiedzi
Podpowiedź: dowód $x^T A x = x^T A_+ x$ dla wszystkich $x$, gdzie $A_+ = \frac{1}{2}(A+A^T)$ jest symetryczną częścią $A$. Następnie możesz zastosować twierdzenie spektralne.