Jak się do tego przekonać (wyobrazić sobie) $\Bbb S^1$-działanie włączone $\Bbb S^3$ naprawia krąg kuli?
Jak się do tego przekonać (wyobrazić sobie) $\Bbb S^1$-działanie włączone $\Bbb S^3$ naprawia krąg kuli?
Dzięki temu komentarzowi Jasona DeVito łatwo dostrzec tę akcję$\Bbb S^1$ na $\Bbb S^3\subset \Bbb C^2$ określony przez $z*(w_1,w_2)=(zw_1,w_2)$ naprawia cały okrąg $\{(0,w):|w|=1\}\subset\Bbb S^3\subset \Bbb C^2$. Ale nie mogę sobie tego wyobrazić, ponieważ powszechny obraz działania w moim umyśle jest taki, że ruch kołowy jest rodzajem obrotu, więc ma oś obrotu i obracanie się wokół tej osi może naprawić co najwyżej 2 punkty. Czy to możliwe, że oś obrotu nie jest linią?
Jak mogę pomyśleć o tej akcji w sposób geometryczny? $z*(w_1,w_2)=(zw_1,\bar zw_2)$.
Edycja: Moje rozumienie ostatniej akcji jest takie: jedna strona$\Bbb S^3$ obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a druga strona obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (w innej płaszczyźnie niż pierwsza akcja) i te działania wpływają na środek kuli i stają się straszne i załamują się w środku, Jak cylinder, jeśli obrócimy jego granice w różnych kierunkach, staje się załamany w środku jak śruba.
Odpowiedzi
Dla mnie sposób, w jaki myślę o obrotach, jest konsekwencją twierdzenia o maksymalnym torusie dla $\mathrm{SO}(n)$. Mianowicie, biorąc pod uwagę jakiekolwiek$A\in \mathrm{SO}(n)$ (tj. obrót $\mathbb{R}^n$ który naprawia $0$), istnieją pewne podstawy $\mathbb{R}^n$ z majątkiem, który na tej podstawie $A$ składa się z kilku regularnych $2$-wymiarowe bloki rotacyjne.
Dokładniej, pisanie $R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$ dla standardowej macierzy rotacji przeciwnie do ruchu wskazówek zegara zawsze istnieje podstawa ortonormalna $\mathbb{R}^n$ w którym $A$ przyjmuje kształt przekątnej bloku $$A=\begin{cases} \operatorname{diag}\Big(R(\theta_1), R(\theta_2),..., R(\theta_{n/2})\Big) & n \text{ even}\\ \operatorname{diag}\Big(R(\theta_1), R(\theta_2),..., R(\theta_{(n-1)/2},1)\Big) & n \text{ odd}\end{cases}.$$
Wskazuje to, że rotacje są zasadniczo dwuwymiarowymi ideami, które są następnie przenoszone na wyższe wymiary. W rzeczywistości daje przepis na konstruowanie wszystkich rotacji$\mathbb{R}^n$: Wybierz dowolną $2$-płaszczyzna i trochę ją obróć. W dopełnieniu ortogonalnym wybierz dowolne$2$-płaszczyzna i obróć ją. W dopełnieniu ortogonalnym tych dwóch$2$- samoloty, wybierz dowolne $2$-płaszczyzna i obróć ją itp.
Myśląc o $\mathbb{R}^3$ na chwilę obrót w $xy$-płaszczyzna nie zmienia odległości od punktu w $xy$ samolot do dowolnego punktu w $z$-oś. W rzeczywistości obrót w$xy$ samolot nie ma wpływu na $z$oś. Powyższy rozkład wskazuje, że idea ta przenosi się do wyższych wymiarów. Na przykład w$\mathbb{R}^4$ (powiedzmy ze współrzędnymi $(x,y,z,t)$) rotacja w $xy$ samolot nie zmienia odległości od punktu w $xy$ płaszczyzną do punktu w $zt$ samolot.
Dlatego na przykład twoja akcja na $\Bbb S^3$może obracać dwie rzeczy w przeciwnych kierunkach. Trudno to sobie wyobrazić, ale obrót w$xy$-plane nie ma wpływu na $zt$-płaszczyzna, więc bez "skręcania" $\Bbb S^3$ pojawia się w twoim działaniu.
Z drugiej strony, jeśli chodzi o akcję cylindra, zauważ, że nie jest to rotacja $\mathbb{R}^3$ograniczone do cylindra, więc żadne z powyższych nie ma zastosowania. W rzeczywistości nie nazwałbym twojego działania na cylindrze obrotem. Jest to obrót każdego elementu granicznego, ale kto wie, co to jest pomiędzy!
Nie spodziewałbym się rotacji $\mathbb C^2 \approx \mathbb R^4$ mieć „oś obrotu”, która jest linią, czyli czymś o rzeczywistym wymiarze $1$. Z drugiej strony można by oczekiwać, że „oś obrotu” będzie miała rzeczywistą kowymiarię$2$, co robi: cały samolot $w_1=0$jest naprawiony. A kiedy przecinasz tę płaszczyznę z$S^3$ otrzymasz okrąg, który jest naprawiony.
Jeśli chcesz zwizualizować ten przykład, możesz to zrobić, wykorzystując fakt, że $S^3$ jest jednopunktowym zagęszczeniem $\mathbb R^3$, które napiszę jako $S^3 = \mathbb R^3 \cup \{\infty\}$. W tym modelu można wizualizować okrąg stałych punktów jako okrąg jednostkowy w$x,y$-samolot: $$\{(x,y,0) \mid x^2 + y^2 = 1\} $$ Poza tym kręgiem stałych punktów, każda inna orbita akcji jest okręgiem i można wizualizować te krążenia w $\mathbb R^3 \cup \{\infty\}$ za pomocą $(r,\theta,z)$współrzędne walcowe, jak następuje. Jedną z orbit koła jest$\text{$z$-axis} \cup \{\infty\}$. Następnie dla każdego stałego kąta$\theta_0$, półpłaszczyzna $\theta = \theta_0$ przebija ustalony okrąg w jednym punkcie $P(\theta_0)$ ze współrzędnymi $(r,\theta,z)=(1,\theta_0,0)$, krawędź graniczna tej półpłaszczyzny to $z$- oś, która jest orbitą, a reszta półpłaszczyzny jest foliowana przez rodzinę orbit kołowych, które zbliżają się do tego pojedynczego punktu w jednym kierunku, stają się coraz mniejsze i zbliżają się do $z$-osi w drugim kierunku coraz większa i większa (w metryki hiperbolicznej $\frac{dr^2+dz^2}{r^2}$ na tej półpłaszczyźnie są to koncentryczne okręgi wyśrodkowane $P(\theta_0)$).