Jak udowodnić, że ta macierz jest diagonalizowalna?

Nov 20 2020

Próbuję przypisać pytania algebry liniowej i nie mogłem rozwiązać tego konkretnego pytania dotyczącego diagonalizowalności.

Pozwolić $n \times n$ złożona macierz $A$ spełnia $A^k = I$ the $n \times n $ macierz tożsamości, gdzie $k$ jest dodatnią liczbą całkowitą $>1$ i pozwól $1$ nie może być wartością własną $A$. Jak więc udowodnić, że A jest koniecznością Diagonalizowalne?

Tak jak $A^k=I$ a 1 nie jest więc wartością własną $(A-I ) (A^{k-1}+...+ I)=0$ wynika z tego $(A^{k-1}+...+ I)=0$ ale nie mogę iść naprzód.

Czy możesz mi pomóc?

Odpowiedzi

4 LawNgai Nov 20 2020 at 09:56

Mogłeś założyć mniej. Warunek „1 nie jest wartością własną$A$”jest niepotrzebne.

Przypomnij sobie, że złożona macierz $A$jest przekątna wtedy i tylko wtedy, gdy jej minimalny wielomian nie ma wielu pierwiastków. Gdyby$A^k = I$, to minimalny wielomian $A$, które oznaczamy $f(x)$, koniecznie dzieli $x^k - 1$. Kończymy to$f(x)$ nie może mieć wielu korzeni od tego czasu $x^k - 1$ ma $k$ wyraźne korzenie w $\mathbb{C}$. W związku z tym$A$ jest przekątna.

Alternatywnie możemy użyć Jordan Canonical Form, aby zobaczyć możliwość przekątnej. Załóżmy, że jest wręcz przeciwnie$A$ nie jest diagonalizowalna, to musi istnieć jakiś nietrywialny blok Jordana $B$ formy kanonicznej Jordana w następującej formie: $$\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots& \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}$$ który spełnia $B^k = I$. Jest to niemożliwe, obliczając na przykład plik$(1,2)$-wejście z $B^k$, od $\lambda \neq 0$.

1 Mars Nov 20 2020 at 09:49

Pozwolić $A=SJS^{-1}$ być wtedy normalną formą Jordana $A^{k}=(SJS^{-1})^k=(SJ^{k}S^{-1})=I$. Następnie pomnóż przez$S^{-1}$ po lewej i $S$ po prawej daje plony $J^k=I$. Gdyby$J$ miał blok Jordan $J_i$ wielkościowy $n>1$ odpowiadające wartości własnej $\lambda_{i}$, następnie $J_i^k$ miałby bardzo ukośne wpisy $(2\lambda_{i})^{(k-1)}\neq 0$.

Sobhmatics Nov 20 2020 at 09:19

Istnieje twierdzenie, które mówi, że jeśli jakakolwiek macierz kwadratowa A jest przekątna, to każda dodatnia potęga A, tj. A ^ k, k należy do Z +. A ^ k jest również przekątna

ALE ODWRÓCONA część jest prawdziwa Tylko wtedy, gdy A jest odwracalne, tj. Jeśli otrzymamy, że A ^ k jest przekątna, a A jest odwracalna, to A jest przekątna. Możesz zobaczyć dowód tutaj Jeśli$A$ jest odwracalny i $A^n$ jest więc przekątna $A$ jest diagonalizowalny.

Tutaj mamy dane, że A ^ k = I, więc A jest odwracalne, a identyfikacja jest zawsze przekątne, więc A jest przekątne.

Mam nadzieję, że to będzie dla Ciebie pomocne