Jak ustalić warunki regularności dla dolnej granicy Craméra – Rao dla estymatora wariancji próby?

Question

Pozwolić $X_1,X_2,\ldots,X_n \sim \text{IID } f(\theta)$ być próbką losową z rozkładu z parametrem $\theta$ i pozwól $S^2(\mathbf{x}_n) \equiv \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i -\bar{x}_n)^2$oznaczają wariancję próbki. Chcę sprawdzić warunki prawidłowości dolnej granicy Cramér – Rao , a mianowicie:

$$\begin{align} &(1) & & \mathbb{V}_\theta(S^2(\mathbf{X}_n))< \infty, \\[10pt] &(2) & & \frac{\partial}{\partial \theta} \int S^2 (\mathbf{x}_n) f(\mathbf{x}_n | \theta) \ dx = \int S^2(\mathbf{x}_n) \frac{\partial f}{\partial \theta} (\mathbf{x}_n | \theta) \ dx. \\[6pt] \end{align}$$

powiedziałabym to $(1)$ jest oczywiste, ponieważ $S^2$ jest ograniczona, ale nie wiem, co z tym zrobić $(2)$. Czy mógłbyś mi pomóc?

Answer 1

Właściwie stan $(1)$nie jest spełniony, chyba że narzucisz warunek ważnego momentu na rozkład zmiennych losowych. Zmienność wariancji próbki dla IID zmiennych losowych ma znaną postać, a jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy dystrybucja bazowy ma skończoną kurtozę. Więc warunek$(1)$ jest spełniony tylko wtedy, gdy tak jest.

Stan: schorzenie $(2)$jest warunkiem dotyczącym dopuszczalności wprowadzenia operatora pochodnej wewnątrz całki. Ogólną regułę dla pochodnych całek podaje reguła całkowa Leibniza , a warunek regularności zachodzi w przypadku, gdy wsparcie rozkładu bazowego nie zależy od parametru$\theta$.