Jaki jest stan grupy $G$ być równe iloczynowi dwóch normalnych podgrup

Dec 23 2020

Gdyby $G$ jest grupą i $N,M$to dwie normalne podgrupy. Wiemy, że produkt$NM$ jest normalną podgrupą $G$, ale kiedy mogę to powiedzieć $G=NM$. Jakie muszą być warunki$N,M$?

Odpowiedzi

2 NickyHekster Dec 23 2020 at 17:40

Zakładając, że wszystkie grupy wymienione w tych przykładach są skończone.
Przykład: jeśli$|G:M|$ i $|G:N|$względnie pierwsze , a następnie$G=NM$. Dowód:$|G:NM| \mid |G:M|$ i $|G:NM| \mid |G:N|$.
Inny przykład: jeśli$|M|$ i $|N|$względnie pierwsze i$|G|=|N| \cdot |M|$, następnie $G=NM$.
Jeszcze inny przykład: jeśli$M$to maksymalna podgrupa i$N \not \subseteq M$, następnie $G=NM$.

Jeśli znasz (zwykłą) teorię charakteru grup skończonych : jeśli$\varphi$ jest postacią $M$ i ograniczenie indukcji $(\varphi^G)_N$ jest więc nieredukowalna $G=NM$.

1 DietrichBurde Dec 23 2020 at 18:02

Jest bardziej ogólne pytanie, które było intensywnie badane, a mianowicie kiedy możemy to powiedzieć $G=AB$ dla podgrup $A,B$? Takie grupy$G$nazywane są rozkładalnymi na czynniki i istnieje na ich temat obszerna literatura.

Są na przykład pewne trywialne warunki $AB$ jest podgrupą $G$ wtedy i tylko wtedy gdy $AB=BA$, widzieć

Pozwolić $A,B$ być podgrupami grupy $G$. Okazać się$AB$ jest podgrupą $G$ wtedy i tylko wtedy gdy $AB=BA$

Odnośniki do grup rozkładalnych: na przykład Arad i wiele prac Amberga, B. Franciosi, S. i Degiovanni i inni, także artykuły Gorensteina, Hersteina .

Aby uzyskać więcej referencji, zobacz także ten post dotyczący MO .