Jaki typ procesu stochastycznego spełnia $Var[X_t]Var[X_s] = Cov[X_t,X_s]$ dla wszystkich $t,s \in \mathbb R^+$?

Question

Pozwolić $X=(X_t)_{t\in \mathbb R^+}$ fasola $L^2$proces stochastyczny. O czym to mówi$X$ Jeśli $Var[X_t]Var[X_s] = Cov[X_t,X_s]$ dla wszystkich $t,s \in \mathbb R^+$? O czym to mówi$X$ Jeśli $Var[X_t]Var[X_s] \neq Cov[X_t,X_s]$ dla wszystkich $t,s \in \mathbb R^+$ ?

Czy istnieje specjalna klasa procesów, które spełniają którekolwiek z powyższych?

Teraz powtarzamy te same pytania, ale przypuszczamy, że $X$jest procesem Gaussa. Czy uczymy się czegoś nowego?

Answer 1

Z $s=t$ warunek jest $$Var(X_s)=Var(X_s)^2,$$ która wymusza, że $Var(X_s)=1$ dla wszystkich $s$. A zatem $$Cov(X_s,X_t) = 1^2 = \sqrt{Var(X_s)}\sqrt{Var(X_t)},$$ co oznacza, że ​​korelacja między $X_s$ i $X_t$ jest $1$ dla wszystkich $s$ i $t$, i dlatego $X_t$ jest prawie na pewno funkcją liniową $X_s$, to jest $$X_t = aX_s + b$$ dla niektórych $a$ i $b$. Z warunku kowariancji jasno wynika, że$a=1$ i widzimy, że $b=\mathbb{E}[X_t - X_s]$. Tak możemy pisać $$X_t = X_0 + f(t),$$ gdzie $f(t)$ jest funkcją deterministyczną $f(t)=\mathbb{E}[X_t-X_0]$. Również dowolny proces zdefiniowany jako$X_t := X_0 + f(t)$ z $Var(X_0)=1$ i $f$ jakaś dowolna funkcja spełni zadany warunek.