Jakie są najwcześniejsze przykłady kontynuacji analitycznej?

Jan 25 2021

Zastanawiam się, skąd Riemann to wiedział $\zeta(z)$można rozszerzyć na większą domenę. W szczególności, kto był pierwszą osobą, która wyraźnie rozszerzyła dziedzinę złożonej funkcji o wartościach złożonych i jaka była funkcja?

Odpowiedzi

8 TomCopeland Jan 26 2021 at 00:34

(Rozszerzony 26.01.21

Przede wszystkim chciałbym zwrócić uwagę dla osób, dla których angielski nie jest językiem ojczystym, że użycie przedimka „a” w wyrażeniu „funkcja o wartościach zespolonych” oznacza, że pytanie to nie odnosi się wyłącznie do funkcji Riemanna lub jakiejkolwiek innej funkcji zeta. Obejmuje dowolną funkcję, której dziedziną jest jakiś zbiór liczb rzeczywistych, więc interpretuję pytanie jako „Kto jako pierwszy opublikował rozszerzenie domeny o istotnej funkcji z pewnego zbioru liczb rzeczywistych do jakiejś ciągłej domeny kompleksu, a jaka to była funkcja? ” Dla mnie dokładne znaczenie terminu kontynuacja analityczna i czy jest on wyjątkowy, czy nie, to inna kwestia.

Pierwsze zdanie i kilka komentarzy skupia się na funkcji zeta Riemanna. Riemann nie był sam, a jego zainteresowania były znacznie szersze, niż mogłoby to sugerować czasami niemal obsesyjne skupienie się dzisiaj na PR. Jego zainteresowania obejmowały prawie całą złożoną analizę, więc naturalne było dla niego rozważenie rozszerzenia funkcji rzeczywistych na funkcje złożone.

Trudno w to uwierzyć (trąci jakimś typem regionalnego uprzedzenia), że żaden matematyk przed Eulerem nie obudził się pewnego ranka i pomyślał: „A co, jeśli zmodyfikuję moje prawdziwe wzory, aby zawierały ten szalony pierwiastek kwadratowy z -1?”. Roger Cotes był przygotowany do tego, by zrobić to sensownie ze względu na swoje zainteresowanie astronomią i mechaniką nieba; znajomość pracy swojego kolegi Newtona nad seriami powtórzeń funkcji trygonometrycznych, ich odwrotności, rachunku różniczkowego i mechaniki Newtona; wykorzystanie tablic logarytmicznych wprowadzonych na początku XVII wieku przez Napiera do obliczeń z dużymi liczbami napotykanymi podczas pomiarów Ziemi i nieba; i pracuj nad interpolacją (Cotesa i Newtona).

Pozwólcie, że jeszcze raz podkreślę, że Cotes był zaznajomiony z kompozycyjną inwersją szeregów potęgowych Newtona (jedna formuła zawiera asocentanową wersję wzoru inwersji Lagrange'a dla szeregów formalnych, patrz Ferraro poniżej), w tym dla funkcji wykładniczej i, jak zauważył Griffiths '' komentarz do postu " Tworzenie logarytmu " Freibergera: Bez tych tablic logarytmów nie byłoby teorii Nicholasa Mercatora o polu pod symetryczną hiperbolą równą logarytmowi odległości wzdłuż osi x, ani rewersji Izaaka Newtona wzoru hiperboli, aby uzyskać nieskończoną serię dla antylogarytmu $e^x$. (Mapy Mercatora zaczynają widzieć kropki?) W rzeczywistości Ferraro omawia na stronach 74 i 75 „Powstania i rozwoju teorii szeregów do wczesnych lat dwudziestych XIX wieku”, w jaki sposób Newton odwrócił szereg potęg logarytmu$-\ln(1-x)$ aby otrzymać szereg potęgowy antylogarytmu $1- e^{-x}$. (Newton ze swoim znakomitym opanowaniem geometrii i analizy z pewnością zauważyłby tutaj również prostą relację twierdzenia o funkcji odwrotnej między pochodnymi dwóch szeregów).

W związku z tym wydaje się naturalne, że w momencie narodzin rachunku różniczkowego i jego związku z szeregami potęgowymi i odwrotnościami kompozycji Cotes zapisał w 1714 r., Kiedy Euler miał siedem lat:

$$ ix = \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]$$

rodząca się wersja bajecznej formuły Eulera z 1748 roku (por. Wikipedia )

$$ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta).$$

Oczywiste sprawdzenie pochodnej (lub strumieni) weryfikuje wzór bez jawnego użycia wykładniczej

$$ \frac{d}{dx} (ix +constant) = i = \frac{d}{dx} \; \ln[ \;\cos(x) + i \sin(x) \;]= \frac{-\sin(x) + i \cos(x)}{\cos(x) + i \sin(x)},$$

co na pewno było SOP dla Newtona i Cotesa - zastosowanie reguły łańcucha, czyli w tym przypadku twierdzenie o funkcji odwrotnej, $dx = df(f^{-1}(x)) = f'(f^{-1}(x)) \; (f^{-1})'(x) \; dx$, co rzeczywiście sprawia, że formuła jest oczywista.

W „Historii pojęć wykładniczych i logarytmicznych” Cajori wyjaśnia, w jaki sposób John Bernoulli rozważał rozwiązania równania różniczkowego przekształconego z rzeczywistych na urojone w 1702 roku i podaje wyprowadzenie Cotesa swojej formuły, którą Cotes opublikował w 1714 i 1722 roku. Cajori twierdzi również, że później Euler nie wahał się używać liczb urojonych.

Formuła Eulera, tak jak dziś napisano, musiała czekać na opracowanie przez Eulera i współpracowników symbolicznego repetycji funkcji wykładniczej $\exp(z) = e^z$ z $e$będąca stałą Eulera, czasami określana jako stała Napiera, ponieważ wystąpiła w tabelach dziennika Napiera. Stało się tak po tym, jak Huygens i inni wyjaśnili wiele rachunków, na których opierał się dziennik. Funkcja wykładnicza była czasami nazywana nawet „antylogarytmem”, odzwierciedlając priorytet dziennika, jak zauważono w wpisie dziennika.

Formuła logarytmiczna Cote'a jest rozszerzeniem od liczb rzeczywistych dodatnich do sfery liczb zespolonych argumentu logarytmu w raczej trudniejszy sposób niż zwykłe zastąpienie $n$ w serii rep $\zeta(n)$ liczbami rzeczywistymi na prostej rzeczywistej, a następnie innymi liczbami na płaszczyźnie zespolonej.

Zgodnie z artykułem Wikipedii na temat Cotes, opublikował on ważne twierdzenie o korzeniach jedności (i po raz pierwszy podał wartość jednego radiana) w 1722 r. W „Theoremata tum logometrica tum triogonometrica datarum fluxionum fluentes Exhibentia, per methodum mensurarum ulterius extensam "(Twierdzenia, niektóre logorytmiczne, niektóre trygonometryczne, które dają płyny danych przepływów metodą miar dalej rozwiniętą). Rozumiał dość dobrze trygon iz tej perspektywy zarówno formuły Cotesa, jak i Eulera można uznać za kontynuację rozwiązań$|x| = 1$w złożoną płaszczyznę. Rozwiązania definiują bardzo prostą funkcję z domeną 1 i -1 oraz zakresem 1, która jest następnie analitycznie kontynuowana jako okrąg o promieniu 1 w dziedzinie złożonej - rodzaj interpolacji (najedź kursorem na łącze interpolacyjne na Wiki na Roger Cotes ) spełniające proste równanie funkcyjne$|f(x)|=1$. (Inne przykłady typów interpolacji / kontynuacji analitycznej od funkcji z dyskretnymi domenami całkowitymi do tych z ciągłymi domenami złożonymi (związanymi z interpolacjami szeregów Newtona i sinc / cardinal) są podane w tym MO-Q i MSE-Q ).

Z szerszej perspektywy wzór logu Cotesa jest wyraźnym przykładem analitycznej kontynuacji logu jako odwzorowania liczb rzeczywistych na rzeczywiste i odwzorowanie zespołu zespolonego na zespolony. Cotes był oczywiście świadomy tego (rzeczywiście był używany i byłby pewny, że każdy zaznajomiony z dziennikiem również wiedział), ponieważ$u,v > 0$,

$$\ln(u)+\ln(v) = \ln(uv),$$

zapisał więc najtrudniejszą część analitycznej kontynuacji dziennika od liczb rzeczywistych dodatnich do złożonej (aczkolwiek nie uwzględniającej bezpośrednio wielości)

$$\ln(r) + ix = \ln[\; r\; (\;\cos(x) + i \; \sin(x)\;) \;].$$

Źródła w Wikipedii: John Napier , The History of Logarithms , Logarithm , Roger Cotes , tożsamość Eulera , wzór Eulera .

Oprócz sumowania Eulera ze złożonymi argumentami, Euler był pierwszym, który rozszerzył silnię na funkcję gamma dla złożonych argumentów, aby opracować rachunek ułamkowy z jego hybrydową całką Mellina-Laplace'a dla funkcji gamma (patrz „ Dziedzictwo Eulera do współczesnej fizyki "Dattoli i Del Franco oraz MSE-Q wymienione powyżej). Całka Eulera dla funkcji beta pozwala na to samo dla uogólnionych współczynników dwumianowych, które Newton (ponownie kolega Cotesa) zrobił dla rozszerzenia liczb całkowitych współczynników dwumianowych do liczb rzeczywistych. Niestety, Euler nie w pełni zrozumiał rozszerzenie liczb zespolonych (Argand i Wessel pojawią się później), w przeciwnym razie zgarnąłby Cauchy'ego, Liouville'a i Riemanna na rachunku analizy zespolonej.

Aby zapoznać się z prehistorią funkcji zeta Riemanna, patrz „ Aspects of Zeta-Function Theory in the Mathematical Works of Adolf Hurwitz ” autorstwa Oswalda i Steudinga. Autorzy nie mówią, czy „s” jest prawdziwe, czy złożone w ich dyskusji na temat prehistorii zeta. Byłoby to naturalne, gdyby Euler i inni przed Riemannem to rozważyli$s$złożony. Euler miał powiązanie z potęgami pi dla argumentów zeta, które są równymi liczbami całkowitymi, które sugerowałyby połączenie z kompleksem zarówno przez jego fantastyczną formułę, jak i jego wzór odbicia dla funkcji gamma, ale wtedy nie miał nic do zebrania z tej perspektywy bez Riemanna. Mellin transform. Rep. przez które Riemann był pierwszym, który naprawdę wydobywał nowe właściwości zeta, zastosował wzór odbicia Eulera, aby nadać konturowi Hankla kontynuację zeta od prawej półpłaszczyzny do pełnej złożonej płaszczyzny, i opracował sprytny algorytm do określania nie - między innymi trywialne zera.

Czerwony śledź wydaje się być jakimś krótkowzrocznym wysiłkiem wymuszenia sztucznej dychotomii między interpolacją a kontynuacją analityczną. Używam zainteresowania i umiejętności Cotesa (i Newtona) w interpolacji w sferze realnej (z pewnością związanej z aproksymacją orbit niebieskich), aby wskazać, że miał predyspozycje do analitycznych kontynuacji. Ponadto nie ma dychotomii. W kilku pytaniach MO i MSE pokazuję, jak interpolacja jest związana z analityczną kontynuacją silni do funkcji gamma, liczb Bernoulliego do zeta Riemanna, wielomianów Bernoulliego do zeta Hurwitza i klasycznego rachunku całkowitych potęg pochodnej op na złożone wartości niecałkowite, wśród innych interpolacji / AC (np. zacznij od tego MO-Q lub tego MO-Q ). Mogą one być związane z interpolacją funkcji sinc / szeregów kardynalnych, interpolacją ekspansji dwumianowej i / lub interpolacją Newtona i prawdopodobnie innymi (np. To MO-Q ). Niektóre bardziej wyrafinowane skojarzenia są związane z twierdzeniem Mahlera i ref w odpowiedzi na to MO-Q . Jednym z aspektów darów Riemanna był jego wgląd w to, jak to się ma do transformacji Mellina.