Jednorodne PDE, zmiana zmiennej
Mam PDE $\dfrac{df}{d \xi}-\xi\dfrac{d x_1}{d \xi}=0$ jednorodny dla $\xi$, gdzie $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ jest funkcją $x_1,\cdots,x_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, które z kolei są funkcjami $\xi$ (więc, $\dfrac{df}{d \xi}$ jest pochodną całkowitą).
też mam $\xi=y/z\in\mathbb{R}$, gdzie $y,z\in\mathbb{R}$i jeden powiedział, że gdy PDE jest jednorodny w $\xi$ mam $\dfrac{df}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=0$.
Brakowało mi tej luki. Wyobrażam sobie, że mogę pomnożyć pierwszą ODE przez$\dfrac{d\xi}{d y}=\dfrac{1}{z}$, więc
$$\dfrac{df}{d \xi}\dfrac{d\xi}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d \xi}\dfrac{d\xi}{d y}=\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\dfrac{d x_i}{d\xi}\dfrac{d\xi}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_i}\dfrac{d x_i}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=\dfrac{d f}{d y}-\xi\dfrac{d x_1}{d y}=0.$$
Ale nie jestem pewien. Rzeczywiście, chciałbym wiedzieć, jak to stwierdzić tylko z faktu jednorodności.
Dzięki wielkie.
Powiązane: Równość między dwoma wszystkimi pochodnymi
Odpowiedzi
Zakładać, że $f:\textbf{R}^n\rightarrow\textbf{R}$ i $f=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ jest funkcją $n$zmienne. Mówiąc to$x_i=x_i(\xi)$, następnie $C:\overline{x}=\{x_1(\xi),x_2(\xi),\ldots,x_n(\xi)\}$, $\xi\in\textbf{R}$, następnie $C$ to jeden wymiarowy obiekt w $\textbf{R}^n$ i stąd $C$ jest krzywą $\textbf{R}^n$. Następnie $$ \frac{df}{d\xi}=\sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial x_k}\frac{dx_k}{d\xi} $$ jest pochodną $f$ allong $C$ (lub całkowita pochodna $f$ wzdłuż krzywej $C$). Masz również równanie: $$ \frac{df}{d\xi}-\xi\frac{dx_1}{d\xi}=0\Leftrightarrow \sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial x_k}\frac{dx_k}{d\xi}=\xi\frac{dx_1}{d\xi} \tag 1 $$ Jeśli $\xi=u y$, następnie $\frac{d\xi}{dy}=u$. W związku z tym $$ \frac{df}{d\xi}-\xi\frac{dx_1}{d\xi}=0\Leftrightarrow \frac{df}{dy}\frac{dy}{d\xi}-\xi\frac{dx_1}{dy}\frac{dy}{d\xi}=0\Leftrightarrow \frac{df}{dy}\frac{1}{u}-\xi\frac{dx_1}{dy}\frac{1}{u}=0\Leftrightarrow $$ $$ \frac{df}{dy}-\xi\frac{dx_1}{dy}=0.\tag 2 $$ To odpowiedź na Twoje pierwsze pytanie dotyczące zmiany zmiennych.
O homogeniczności
Jeśli jednak $f$ jest funkcją jednorodną, to mamy jeszcze więcej
Jeśli funkcja $f$ jest jednorodny co do stopnia $\lambda$. Następnie ustawienie$x_i=uy_i$ w równaniu (1) mamy, (wiedząc o tym $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ i $(x_1,x_2,\ldots,x_n)\rightarrow x_1$ są jednorodne tj $f(uy_1,uy_2,\ldots,uy_n)=u^{\lambda}f(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ i $(ux_1)=ux_1$ stopnia 1): $$ \sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial x_k}(uy_1,uy_2,\ldots,uy_n)\left(u\frac{dy_k}{d\xi}\right)-\xi\left(u\frac{dy_1}{d\xi}\right)=0\Leftrightarrow $$ $$ u^{\lambda-1}\sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial y_k}(y_1,y_2,\ldots,y_n)\left(u\frac{dy_k}{d\xi}\right)-\xi u\frac{dy_1}{d\xi}=0 $$ $$ u^{\lambda-1}\sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial y_k}(y_1,y_2,\ldots,y_n)\frac{dy_k}{d\xi}-\xi \frac{dy_1}{d\xi}=0.\tag 3 $$ (To dlatego, że kiedy $f(x_1,x_2,\ldots ,x_n)$ jest jednorodny co do stopnia $\lambda$, następnie $\frac{\partial f}{\partial x_{j}}$ jest jednorodny co do stopnia $\lambda-1$ to znaczy $\frac{\partial f}{\partial x_j}(uy_1,uy_2,\ldots,uy_j,\ldots,uy_n)=u^{\lambda-1}\frac{\partial f}{\partial x_j}(y_1,y_2,\ldots,y_n)$). Stąd kiedy$\lambda=1$, wtedy (3) staje się: $$ \sum^{n}_{k=1}\frac{\partial f}{\partial y_k}\frac{dy_k}{d\xi}-\xi\frac{dy_1}{d\xi}=0.\tag 4 $$ Stąd jeśli $f=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ jest jednorodny stopnia 1, to równanie (1) jest jednorodne PDE (niezmienne przy dowolnej transformacji zmiennych o postaci $x_i=uy_i$, $i=1,2,\ldots,n$).