Jeśli $a \in \Bbb Z$ jest więc sumą dwóch kwadratów $a$ nie można zapisać w której z poniższych form?
Pozwolić $a \in \Bbb Z$ bądź taki, że $a = b^2 + c^2,$ gdzie $b,c \in \Bbb Z \setminus \{0\}.$ Następnie $a$ nie można zapisać jako$:$
$(1)$ $p d^2,$ gdzie $d \in \Bbb Z$ i $p$ jest liczbą pierwszą z $p \equiv 1\ \left (\text {mod}\ 4 \right ).$
$(2)$ $p q d^2,$ gdzie $d \in \Bbb Z$ i $p,q$ są różnymi liczbami pierwszymi z $p,q \equiv 3\ \left (\text {mod}\ 4 \right ).$
$(1)$ jest fałszywe, ponieważ $2^2 + 1^2 = 5 = 5 \cdot 1^2,$ gdzie $d = 1 \in \Bbb Z$ i $5$ jest liczbą pierwszą z $5 \equiv 1\ \left (\text {mod}\ 4 \right ).$Jak udowodnić lub obalić drugą opcję? Każda pomoc w tym zakresie będzie mile widziana.
Dziękuję za Twój czas.
Odpowiedzi
Zwróć uwagę na sumę stanów twierdzenia o dwóch kwadratach
Liczbę całkowitą większą niż jeden można zapisać jako sumę dwóch kwadratów wtedy i tylko wtedy, gdy jej pierwszy rozkład nie zawiera wyrażenia $p^k$, gdzie pierwsza $p\equiv 3 \pmod{4}$ i $k$ to jest dziwne.
Dla Twojego $(2)$, z $p$, ponieważ różni się od $q$, a następnie moc $p$ w $a$ byłoby $1$ plus $2$ razy moc $p$ w $d$, czyli wykładnik $p$to jest dziwne. Tak więc od$p \equiv 3 \pmod{4}$, to cytowane powyżej twierdzenie mówi, że wartość nie może być sumą dwóch kwadratów.
Zwróć uwagę, że w artykule Wikipedii, na którym znajduje się link dowodowy do archiwum internetowego, jest napisane „Ten element nie jest już dostępny”. Wyszukałem trochę, ale nie mogłem znaleźć żadnego innego linku do niego. Jednak w zasadzie istnieje równoważne twierdzenie podane w Suma dwóch kwadratów u dołu strony$4$:
Twierdzenie $6$. Dodatnia liczba całkowita n jest sumą dwóch kwadratów iff$\operatorname{ord}_p(n)$ jest równe dla wszystkich liczb pierwszych $p \equiv 3 \pmod{4}$.
Następnie następuje uwaga dotycząca równoważnego stwierdzenia (które jest również równoważne twierdzeniu Wikipedii, które zacytowałem na początku):
Uwaga: Równoważnym stwierdzeniem twierdzenia, którego użyjemy w dowodzie, jest: $n$ jest sumą dwóch kwadratów, jeśli ma czynniki jako $n = ab^2$, gdzie $a$ nie ma czynnika pierwszego $p \equiv 3 \pmod{4}$.
To stwierdzenie może być nieco mylące, ponieważ jest w zasadzie odpowiednikiem powiedzenia $a$jest wolny od kwadratów. W każdym razie połączony artykuł stwierdza i udowadnia lemat, którego używa następnie do udowodnienia swojego twierdzenia$6$.
Istnieje już zaakceptowana odpowiedź, ale chciałem zwrócić uwagę na bardziej samodzielny argument. Sposobem na udowodnienie 2) jest użycie następującego elementarnego lematu: jeśli$p=3$ mod $4$ jest liczbą pierwszą i $a,b$ są takimi liczbami całkowitymi, że $p|a^2+b^2$, następnie $p|a$ i $p|b$, więc $p^2|a^2+b^2$.
Ten lemat sugeruje, że dla każdej liczby pierwszej $p=3$ mod $4$ i dowolne liczby całkowite $a,b$, $v_p(a^2+b^2)$ jest parzysta, co pokazuje 2).
A teraz, jak udowodnić lemat?
Załóżmy, że mamy $p|a^2+b^2$ i powiedzieć, $p$ nie dzieli $a$. Pozwolić$a'$ być jego odwrotnością mod $p$; brać$b'=ba'$. Następnie$p|b'^2+1$. Tak jak$\frac{p-1}{2}$ to jest dziwne, $(b')^2+1|(b')^{2\times (p-1)/2}+1$, więc $p|(b')^p+b'$. Ale według małego twierdzenia Fermata,$p|(b')^p-b'$ więc $p|2b'$. Tak jak$p \neq 2$, $p|b'$, tak jak $a'$ jest względnie pierwsze $p$) $p|b$. W związku z tym$p|a^2$ więc $p|a$, sprzeczność.