Jeśli $fg$ jest ciągła o godz $a$ następnie $g$ jest ciągła o godz $a$.

Dec 30 2020

Przypuszczam, że $f$ i $g$ są zdefiniowane i skończone wyceniane w otwartym przedziale $I$ który zawiera $a$, że $f$ jest ciągła o godz $a$, i to $f(a) \neq 0$. Jeśli$fg$ jest ciągła o godz $a$ następnie $g$ jest ciągła o godz $a$.

$\underline{Attempt}$

Od $f$ jest conituous w $a$ i $fg$ ciągłe o godz $a$,

$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a) \text{ and } \lim_{x\to a}f(x)g(x)=f(a)g(a)$$

więc

$$\lim_{x\to a} {f(x)g(x)} = \lim_{x\to a}f(x) \lim_{x\to a}g(x)=f(a)\lim_{x\to a}g(x)=f(a)g(a)$$

od $f(a) \neq0$

$$\lim_{x\to a}g(x)=g(a)$$

$\therefore g$ jest ciągła o godz $a$

Odpowiedzi

1 KaviRamaMurthy Dec 30 2020 at 16:58

Twój dowód nie jest poprawny. Zakładasz istnienie$\lim_{ x \to a} g(x)$ale musisz udowodnić istnienie tej granicy. pisać$g(x)$ tak jak $\frac 1 {f{(x)}} {g(x)f(x)}$ obserwując to $f(x) \neq 0$ Jeśli $|x-a| $jest wystarczająco mały. Teraz możesz zobaczyć, że limit istnieje i jest równy$\frac {f(a)g(a)} {f(a)}=g(a)$.

[Tam istnieje $\delta >0$ takie że $|x-a| <\delta$ sugeruje $|f(x)-f(a)| <\frac {|f(a)|} 2$. Więc$|x-a| <\delta$ sugeruje $|f(x)| >|f(a)| -\frac {|f(a)|} 2=\frac {|f(a)|} 2>0$ a więc $f(x) \neq 0$].