Jest $(4+\sqrt{5})$ główny ideał $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$?

Question

Rozważ dziedzinę integralną $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$. Jest$(4+\sqrt{5})$ główny ideał $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$?

Nie znam odpowiedzi, więc jakakolwiek pomoc jest mile widziana.

Zauważ, że $4+\sqrt{5}$ jest nieredukowalnym elementem $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$, ponieważ jego norma $N(4+\sqrt{5})=11$ jest liczbą pierwszą (tutaj jak zwykle $N(a+b\sqrt{5})=a^2-5b^2$ dla każdego $a, b \in \mathbb{Z}$). W każdym razie$\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ nie jest unikalną dziedziną faktoryzacji, co można łatwo zauważyć na podstawie poniższych faktoryzacji $4=2 \cdot 2 = (3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$. Więc pytanie nie jest takie banalne, przynajmniej dla mnie!

Answer 1

Zauważ, że $11=(4+\sqrt{5})(4-\sqrt{5})\in\langle 4+\sqrt{5}\rangle$, więc mamy łańcuch izomorfizmów $$\frac{\mathbb{Z}[\sqrt{5}]}{\langle4+\sqrt{5}\rangle}=\frac{\mathbb{Z}[\sqrt{5}]}{\langle4+\sqrt{5},11\rangle}\cong\frac{\mathbb{Z}[t]}{\langle t^2-5,4+t,11\rangle}.$$ Również, $t^2-5=11-(4-t)(4+t)$, skąd $\langle t^2-5,4+t,11\rangle=\langle 4+t,11\rangle$, a więc powyższy pierścień $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]\big/\langle 4+\sqrt{5}\rangle$ jest w rzeczywistości izomorficzny do $$\frac{\mathbb{Z}[t]}{\langle 4+t,11\rangle}\cong\frac{(\mathbb{Z}\big/11)[t]}{\langle \bar{4}+t\rangle}.$$ Teraz, $\mathbb{Z}\big/11$ jest polem, więc $(\mathbb{Z}/11)[t]$ jest główną domeną idealną i to oczywiste $\bar{4}+t$ jest nieredukowalny - a więc pierwszy - w $(\mathbb{Z}/11)[t]$. Oznacza to, że powyższy pierścień jest domeną, i tak$\langle 4+\sqrt{5}\rangle$ jest rzeczywiście głównym ideałem $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$.