Kohomologia Bredona działania permutacyjnego na $S^3$

Aug 16 2020

Widziałem kilka podobnych pytań z prośbą o weryfikację obliczeń kohomologii Bredona tu i tutaj , więc sam zadam jedno takie pytanie.

Pozwolić $\mathbb{Z}/2$ działać na $S^3\subset \mathbb{C}^2$ przez ograniczenie działania permutacji na $\mathbb{C}^2.$ Chciałem obliczyć kohomologię Bredona $\mathcal{H}^*_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}}).$

Mam rozkład komórek oparty na rozkładzie kompleksu $1$-wymiarowy dysk do $3$ komórki: $\mathbb{D}=D\sqcup T\sqcup *.$ Tutaj $T\sqcup *=S^1=\partial \mathbb{D}$ i $D$ jest wnętrze $\mathbb{D}.$ Następnie mamy rozkład $S^3=\mathbb{D}\times S^1 \cup S^1\times \mathbb{D}$ do komórek zgodnych z $\mathbb{Z}/2$ akcja.

Zbiór akcji w punkcie stałym to okrąg określony przez $\{z_1=z_2\}\cap S^3\subset \mathbb{C}^2.$ Ponieważ kategoria orbity $\mathbb{Z}/2$ składa się z $*$ i $\mathbb{Z}/2$ istnieją następujące równoważne łańcuchy: \ begin {tablica} {| c | c | c | c |} \ hline \ operatorname {dim} & * & \ mathbb {Z} / 2 & \ operatorname {komórki odpowiadające} \ underline {C} _n (S ^ 3) (\ mathbb {Z} / 2) \\ \ hline 0 & \ mathbb {Z} & \ mathbb {Z} & * \ times * \\ 1 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z }, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} & T \ times *, * \ times T \\ 2 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}; \; \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1} } \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \ end {pmatrix} & D \ times *, * \ times D, T \ times T \\ 3 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb { Z}, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} & D \ times T, T \ razy D \\ \ hline \ end {tablica}

Wydaje się więc, że cenione w $\underline{\mathbb{Z}}$ są:

\ begin {tablica} {| c | c |} \ hline \ nazwa operatora {dim} & \\ \ hline 0 & \ mathbb {Z} \\ 1 & \ mathbb {Z} \\ 2 & \ mathbb {Z} \ \ 3 & \ mathbb {Z} \\ \ hline \ end {array} Od$(T\times T)^*=0$ w koszach mamy $\mathcal{H}^3_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=\mathbb{Z}.$ Mechanizm różnicowy $d_1$ jest izomorfizmem od tego czasu $\partial(D\times *)=T\times *.$ Wygląda na to że $\mathcal{H}^*_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=H^*(S^3;\mathbb{Z}).$

Jest dla mnie trochę dziwne, że iloraz jest sferą homologiczną. Jasne, grupa$\mathcal{H}^3_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=\mathbb{Z}$ ponieważ zachowana jest orientacja, ale może trochę przegapiłem $2$-skręt w niższych stopniach?

Odpowiedzi

3 SteveCostenoble Aug 17 2020 at 06:04

Twoja ostateczna odpowiedź jest poprawna, ale struktura komórki, której używasz, nie jest $G$-Struktura CW: $T\times T$ nie może być używany jako komórka w ten sposób.

Podszedłbym do tego w ten sposób: Akcja $G = {\mathbb Z}/2$ na $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ można zapisać jako reprezentację $\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^\sigma$, gdzie $G$ działa trywialnie $\mathbb{C}$ i przez negację $\mathbb{C}^\sigma$. Kula$S(\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^\sigma)$ jest również jednopunktowe zagęszczenie $S^{1+2\lambda}$, gdzie $\lambda$ oznacza prawdziwą linię z $G$działając przez zaprzeczenie. To ma$G$Struktura -CW z

  1. jeden $G$-stałe 0-ogniwowe,
  2. jeden $G$-stała 1-komorowa,
  3. jeden $G$-bezpłatne 2-ogniwowe i
  4. jeden $G$-bezpłatne 3-ogniwowe,

tak, że skeleta są $*$, $S^1$, $S^{1+\lambda}$, i $S^{1+2\lambda}$. Stąd możesz dowiedzieć się, że plik$\underline{\mathbb{Z}}$-złożony łańcuch jest $$ \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z} \xrightarrow{1} \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z}. $$

Aby sprawdzić, czy odpowiedź jest poprawna, należy napisać $$ H_G^n(S^{1+2\lambda}) \cong \tilde H_G^n(S^0) \oplus \tilde H_G^n(S^{1+2\lambda}) \cong \tilde H_G^n(S^0)\oplus \tilde H_G^{n-1-2\lambda}(S^0) $$ a następnie użyj znanego obliczenia $RO(G)$-oceniona kohomologia punktu (pierwotnie ze względu na Stong (niepublikowane), ponieważ opublikowane w różnych miejscach).