Kolejne pytanie o „wszystkie dziwne chwile znikają”

Question

[Pytanie zainspirowane przykładem niezdegenerowanej zmiennej losowej z nieparzystymi momentami = 0 ]

Przypuszczać $X$jest rzeczywistą zmienną losową, tak że wszystkie nieparzyste momenty znikają. To jest$\mathbb E[X^{2n+1}]=0$ dla $n=0,1,2,3\cdots$. Czy to wynika z tego$X$ jest rozłożony symetrycznie $0$? To jest,$X$ i $-X$ mają tę samą dystrybucję.

Uwaga: przypadek, w którym $X$jest ograniczony znajduje się tutaj: Dowód na to$\mathbb{E} X^k = 0$ dla wszystkich dziwnych $k$ sugeruje $X$ symetryczny dla ograniczonego $X$ bez charakterystycznych funkcji

Answer 1

Pozwolić $X$ mają gęstość $$ f(x) = \frac1{48}\left(1-\mathsf{sign}(x)\sin\left(|x|^{\frac14}\right)\right) e^{-|x|^{\frac14}},\ x\in\mathbb R. $$ Następnie dla każdej dodatniej liczby całkowitej $n$ mamy $$ \mathbb E[X^n] = \int_{-\infty}^\infty x^n f(x)\ \mathsf dx = \frac{(1+(-1)^n)(4(n+1))!}{12}. $$ Wynika z tego natychmiast $\mathbb E[X^{2n+1}=0]$ dla wszystkich nieujemnych liczb całkowitych $n$. Jest to jednak jasne$f$ nie jest funkcją równą, więc $X$ nie jest symetryczna względem zera.