Kompaktowo osadzony w $L^p(0,1)$ ale nie jest podprzestrzenią $C^0[0,1]$

Question

Z twierdzenia Rellicha-Kondrachova wiadomo, że osadzanie $H^1(0,1) \subset L^2(0,1)$ jest kompaktowy.

Z drugiej strony nierówności Sobolewa też się mają $H^1(0,1) \subset C^0[0,1]$ (w rzeczywistości nawet $C^{0,\frac{1}{2}}$ w tym jednowymiarowym przypadku, używając fundamentalnego twierdzenia rachunku różniczkowego i niektórych argumentów Cauchy'ego-Schwartza).

Moje pytanie dotyczy tego, czy istnieje jakaś „pośrednia podprzestrzeń” w następującym znaczeniu.

Mianowicie, czy istnieje przestrzeń Hilberta $H$ który jest kompaktowo osadzony w $L^p(0,1)$ dla niektórych $p\geq 1$, i który nie jest podprzestrzenią $C^0[0,1]$?

Answer 1

Tak, takie przestrzenie Hilberta istnieją i są szczególnym przypadkiem ułamkowych przestrzeni Sobolewa . Dla$\alpha\in(0,1/2)$ mamy $H^\alpha(0,1)\subset L^2(0,1)$ z definicji i można wykazać, że funkcja kroku jest $1$ na $(1/2,1)$ i $0$ inny jest w środku $H^\alpha(0,1)$. Ponieważ ta funkcja nie jest ciągła,$H^\alpha(0,1)$ nie osadza się w $C^0[0,1]$.

Zobacz także Dowód, że funkcja charakterystyczna ograniczonego zbioru otwartego jest w$H^{\alpha}$ iff $\alpha < \frac{1}{2}$i do jakich ułamkowych przestrzeni Sobolewa należy funkcja skokowa? (Norma Sobolewa-Slobodeckija funkcji krokowej) po więcej szczegółów.

Wiadomo też, że $H^\alpha(0,1)$ osadza kompaktowo w $L^2(0,1)$ dla $\alpha\in (0,1/2)$. Wynika to z Twierdzenia 7.1 w tym pliku PDF .