Konstruowanie izomorfizmu między dwoma skończonymi ciałami rzędu 25.
Te pola to \ begin {equation *} \ mathbb {F} _5 [x] / (x ^ 2 + x + 1), \ \ mathbb {F} _5 (\ sqrt {2}). \ end {equation *} Wiem, że między powyższymi polami istnieje izomorfizm, ponieważ są to pola skończone tego samego rzędu. Moim pomysłem było znalezienie generatora grupy jednostek każdego pola i skonstruowanie izomorfizmu poprzez odwzorowanie jednego generatora na drugi.
znalazłem to $x+2$ generuje $(\mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1))^{\times}$ i $1+\sqrt{2}$ generuje $\mathbb{F}_5(\sqrt{2})^{\times}.$ Następnie dzwoniąc po mapę $\varphi$, Wysyłam $x+2$ do $1+\sqrt{2}$ co daje po przegrupowaniu $\varphi(x)=\sqrt{2}+4$ gdzie użyłem również, że jakikolwiek izomorfizm ustala pole podstawowe $\mathbb{F}_5$. Problem w tym, że mapa\begin{align*} \varphi:&\mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1)\longrightarrow \mathbb{F}_5(\sqrt{2})\\ &a+bx \mapsto a+4b+b\sqrt{2} \end{align*} nie spełnia $\varphi(fg)=\varphi(f)\varphi(g)$ dla wszystkich $f,g \in \mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1).$ Czy to wynika z tego, że ogólne podejście jest nieprawidłowe?
Odpowiedzi
Zauważamy to $\omega$, prymitywny trzeci pierwiastek jedności, ma co najmniej wielomian $f(x)=x^2+x+1 \in \mathbb{F}_5[x]$. Tak jak$\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2},$ daje to następujący izomorfizm $\varphi:$ \begin{align*} \varphi: \mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1) &\longrightarrow \mathbb{F}_5(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})\\ g(x)&\longmapsto g(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}). \end{align*} Jednak, $-3=2 \in \mathbb{F}_5$ i $\mathbb{F}_5(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})=\mathbb{F}_5(\sqrt{-3})$więc \ begin {equation *} \ mathbb {F} _5 [x] / (x ^ 2 + x + 1) \ cong \ mathbb {F} _5 (\ frac {-1+ \ sqrt {-3}} {2 }) = \ mathbb {F} _5 (\ sqrt {2}). \ end {equation *}