Konstruowanie rozdzielczości rzutowej kompleksu łańcuchowego

Question

Rozdzielczość rzutową staram się skonstruować w kategorii kompleksów łańcuchowych

$\dots \to 0 \to M \to 0 \to \dots$

Wydaje się, że powinno to być możliwe w zakresie rozdzielczości projekcyjnej $M$ ale utknąłem całkowicie.

Wiem, że rzutowy kompleks łańcuchowy jest dokładnie podzielony i utworzony przez rzutowanie, więc jeśli myślimy o rozdzielczości jako o podwójnej złożonej półpłaszczyznowej, kolumna z $M$ musi być rozdzielczością projekcyjną $M$.

Próbowałem wykorzystać sztuczkę $0 \to P \to P \to 0$ to projektowy kompleks kiedykolwiek $P$ jest rzutowa, ale jeśli dodam to do naszego kompleksu, niekoniecznie otrzymamy dokładność.

Answer 1

Jeśli $$\dots\to P_2\to P_1\to P_0 \to M\to0$$ jest rozdzielczością projekcyjną $M$ jako moduł $\dots\to0\to M\to0\to\dots$ ma rozdzielczość (przez rzutowe kompleksy łańcuchowe) w kategorii kompleksów łańcuchowych o następującej postaci (pozwolę ci obliczyć różnice):

$\require{AMScd}$ \ begin {CD} @. \ vdots @. \ vdots @. \ vdots @. \ vdots @. \ vdots @. \ vdots @. \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> P_2 @ >>> P_2 \ oplus P_1 @ >>> P_1 \ oplus P_0 @ >>> P_0 @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> P_1 @ >>> P_1 \ oplus P_0 @ >>> P_0 @ >>> 0 @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> P_0 @ >>> P_0 @ >>> 0 @ >>> 0 @ >> > 0 @ >>> \ cdots \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> M @ >>> 0 @ >>> 0 @> >> 0 @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ @ .0 @ .0 @ .0 @ .0 @ .0 @ .0 \ end {CD}

Answer 2

W tym przypadku jesteś w kategorii ograniczonych powyżej kompleksów, gdzie a $\textit{projective resolution}$ kompleksu (w tym przypadku $\bar{M}:\cdots\rightarrow 0\rightarrow M\rightarrow0\rightarrow\cdots$) oznacza ograniczony powyżej zespół rzutów $P$ z quasi-izomorfizmem $P\rightarrow \bar{M}$. Jeśli więc weźmiesz zwykłą rozdzielczość projekcyjną$M$ jako moduł, $$\cdots\rightarrow P^{-n}\rightarrow P^{-n+1}\rightarrow\cdots\rightarrow P^{-1}\rightarrow P^{0}\rightarrow M\rightarrow0\rightarrow\cdots$$ możemy skonstruować rozdzielczość projekcyjną $\bar{M}$ następująco $\require{AMScd}$ \ begin {CD} \ cdots @ >>> P ^ {- 1} @ >>> P ^ {0} @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @V {f ^ {- 2}} VV @V {f ^ {- 1}} VV @V {f ^ {0}} VV @V {f ^ {1}} VV @V {f ^ {1}} VV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> M @ >>> 0 @ >>> \ cdots \ end {CD}, gdzie strzałka$f:\bar{P}\rightarrow \bar{M}$ jest oczywiście quasi-izomorfizmem.

W kategorii homotopijnej $K(\mathscr{A})$ (gdzie $\mathscr{A}$ jest kategorią abelową, taką jak kategoria modułów nad pierścieniem), możesz to uogólnić i porozmawiać $K$-rozwiązania projektowe, kompleksy $X$ w $K(\mathscr{A})$ które to potwierdzają $Hom(X,Z)=0\ ,\ \forall Z\in\mathscr{Z}=\lbrace Z\in K(\mathscr{A})\ \text{such that}\ H^{n}(Z)=0\ \forall \ n\in\ \mathbb{N} \rbrace $.

Dobrze, że jeśli $P$ jest ograniczeniem ponad zespołem rzutów, więc jest $K$-rzutowy.